Question

ПОЛНОЕ РЕШЕИЕ На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D; CD = 4,
AD = 5, 6∠A = 3∠ABD = 2∠ABC.
Найдите BC.

Answer 1

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике и следующие основные факты:

1. Внутренние углы треугольника в сумме равны 180 градусам.
2. Сумма углов при основании равнобедренного треугольника равна 180 градусам, а угол при вершине равен половине разности углов при основании.
3. В прямоугольном треугольнике теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Теперь рассмотрим задачу шаг за шагом:

Пусть угол ABC равен x градусам. Тогда угол ABD равен 2x градусам, а угол BDA равен 180 - (x + 2x) = 180 - 3x градусам.

Мы знаем, что угол BDA равен 90 градусам, так как треугольник ABC прямоугольный. Таким образом, у нас есть уравнение:

180 - 3x = 90.

Решим его:

180 - 3x = 90,
-3x = 90 - 180,
-3x = -90,
x = -90 / -3,
x = 30.

Теперь, мы можем найти углы ABD и ABC. Угол ABD равен 2 * 30 = 60 градусам, а угол ABC равен x = 30 градусам.

Теперь, мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник ACD. Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину гипотенузы AD:

AD² = CD² + AC²,
(5,6)² = 4² + AC²,
AC² = (5,6)² - 4²,
AC² = 31,36 - 16,
AC² = 15,36.

Теперь найдем длину стороны AC:

AC = √(15,36),
AC = 3,92.

Таким образом, мы уже нашли одну из сторон треугольника ABC.

Используем теорему синусов в треугольнике ABC:

BC / sin(30) = AC / sin(60).

Подставим известные значения и решим уравнение:

BC / sin(30) = 3,92 / sin(60),
BC / sin(30) = 3,92 / (√3 / 2),
BC / (1/2) = 3,92 / (√3 / 2),
BC = (3,92 / (√3 / 2)) * (1/2),
BC = (3,92 * 2) / √3,
BC = 7,84 / √3.

Вычислим это значение:

BC ≈ 7,84 / 1,73,
BC ≈ 4,52.

Таким образом, длина стороны BC равна приблизительно 4,52.