РЕШЕНИЕ
сделаем построение по условию
AB = BC , так как ABCD -квадрат
Точка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать ,
что сторона ВС состоит из 3-х равных частей.
Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать ,
что сторона АВ состоит из 4-х равных частей.
Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно.
Дополнительное построение :
обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1C
проведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE
по теореме Фалеса :
параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла <EBC
пропорциональные отрезки
на стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части
обозначим для простоты -x.
так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть
представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9
рассмотрим угол <BAM
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова
пропорциональные отрезки на сторонах угла
MK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <-----это сторона АМ треугольника AMD
Дополнительное построение :
проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Р
проведем прямую DN параллельную прямой CE
прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN
CE || DN , EN || CD
NECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельны
следовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4
т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей.
тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12
рассмотрим угол <NPD
снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова
пропорциональные отрезки на сторонах угла
ML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <-----это сторона МD треугольника AMD
ОТВЕТ
для стороны АМ отношение 2 : 9
для стороны МD отношение 1 : 6
с рисовальками всегда было плохо, поэтому на пальцах)
центр шара будет точка пересечения высоты от каждого угла основания с высотой терраэдра. Одновременно точка пересечения будет точкой пересечения медиан от углов основания к высотам противоположных сторон, а значит соотношения будет2/1 считая от основания. радиусом будет большая половинка, то есть 2*х/3, где х-проведенная высота. ее находим из прмоугольного образованного треугольника. (все таки попробовала сдлеать чертеж)
рассмотрим основание. выота основания, одновременно и гипотенуза желаемого треугольника что выше = а*корень из трех, (где а - сторона тетраэдра)
второй катет опять таки лежит на пересечении медиан и равен 1/3 высоте боковой грани, которая так же как и высота основания равна а корень из трех. катет равен а*корень из трех/3
по т.пифагора находим первый катет: он равен 2*а*корень из трех/3
по соотношению о медианах находим радиус: 4*а*корень из трех/9