Ввыпуклом четырехугольнике abcd диагональ db перпендикулярна стороне ab, диагональ ac перпендикулярна стороне dc.ad=2, сумма углов при вершинах a и d = 120 градусов.найти длину стороны bc
Нужно заметить, что все вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности (радиуса 1), диаметр которой есть сторона AD, а середина стороны AD (точка O) - центр окружности.
(Прямоугольные треугольники ABD и ACD опираются на AD, как на диаметр.)
угол A есть полусумма дуги ВС и дуги СD
угол D есть полусумма дуги AВ и дуги BС
угол А + угол D = (1/2)(дуга ВС+ дуга СD + дуга AВ + дуга BС) =120
Треугольник BOC с вершиной в точке О - центре окружности на середине стороны AD - равносторонний (как равнобедренный OB=OC = 1 - радиус окружности = половина стороны AD=2 и углом 60 градусов (отсюда следует, что все углы по 60))
ответ: BC=1
Примечание: положение стороны BC на полуокружности может быть любым (!). На решение и ответ это не влияет.
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания, то есть боковые грани пирамиды равны и наклонены относительно основания под одним углом. Сечение amb, площадь которого надо найти - равнобедренный треугольник с основанием ab и боковыми сторонами am и bm. Основание нам дано - это сторона основания пирамиды, равная 8. Боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Значит углы при вершинах граней равны 36°, равны и все углы при основании граней (180°-36°):2 = 72°. В треугольнике asm <asm=36°(дано), <sam=36°(как половина угла sac=72°) и <amb=(180°-72°)=108°. Углы ams и amc смежные. Тогда <amc=180°-108°=72° и значит треугольник amc равнобедренный и am=ac=8. Но am=bm, а ac=ab. Значит сечение - правильный треугольник и его площадь равна: Sabm = (√3/4)*a², где а - сторона треугольника. Итак, Sabm = (√3/4)*64 = 16√3.
1 Тр. AOB=BOC. BO=OB, AO=OC, угол AOB=BOC как вертикальные, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. 2.PK=NK, угол P=углу N, углы MKN=PKB(как вертикальные), значит тр. MKN=PKB по стороне и двум прилежащим углам. 3.АВ=АD, угол ВАС=DAC, AC - общая, значит тр. BAC=DAC по двум сторонам и углу между ними 4. BC=AD, угол CBD=ADB, BD - общая, значит тр. CBD=ADB по двум сторонам и углу между ними 5.угол MDF=BDF, DFM=DFB, DF - общая, значит тр. MDF=BDF по стороне и двум прилежащим углам. 6.угол MAP=NPA, AP - общая, значит тр. MAP=NPA по стороне и двум прилежащим углам...
Нужно заметить, что все вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности (радиуса 1), диаметр которой есть сторона AD, а середина стороны AD (точка O) - центр окружности.
(Прямоугольные треугольники ABD и ACD опираются на AD, как на диаметр.)
угол A есть полусумма дуги ВС и дуги СD
угол D есть полусумма дуги AВ и дуги BС
угол А + угол D = (1/2)(дуга ВС+ дуга СD + дуга AВ + дуга BС) =120
дуга AВ + дуга BС + дуга СD = 180 (полная полуокружность)
(1/2)(дуга ВС+ 180) =120
90 + (1/2)дуга ВС=120
(1/2)дуга ВС=120-90=30
дуга ВС=240-180=60
угол BOD = дуги BC (т.к. угол BOD - центральный)
угол BOD = 60 градусов
Треугольник BOC с вершиной в точке О - центре окружности на середине стороны AD - равносторонний (как равнобедренный OB=OC = 1 - радиус окружности = половина стороны AD=2 и углом 60 градусов (отсюда следует, что все углы по 60))
ответ: BC=1
Примечание: положение стороны BC на полуокружности может быть любым (!). На решение и ответ это не влияет.