АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников ABD и DCA, ⇒ ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними, значит ∠CAD = ∠BDA = 45°, ⇒ ΔAOD равнобедренный, а так как два угла в нем по 45°, то угол при вершине ∠AOD = 90°.
ΔВОС так же прямоугольный равнобедренный.
Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей. Обозначим основания а и b. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В равнобедренном ΔAOD h₁ - это высота и медиана, значит h₁ = a/2. В равнобедренном ΔВОС h₂ - это высота и медиана, значит h₂ = b/2. Высота трапеции равна: h = h₁ + h₂ = a/2 + b/2 = (a + b)/2, т.е. высота равна средней линии. Стоит запомнить: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. h = (4 + 16)/2 = 10
Из точки O, лежащей вне двух параллельных плоскостей α и β, проведены 3 луча, пересекающие плоскости α и β соответственно в точках A,B,C и A1,B1,C1 (OA<OA1). Найдите периметр A1B1C1, если OA=m, AA1=n, AB=c, BC=a., CA=b.
Если две параллельные плоскости пересечены другой плоскостью, то линии их пересечения параллельны. Значит треугольник А1ОВ1 подобен АОВ - Плоскость пересечения принадлежит обоим треугольникам, а основания параллельны, так как являются линиями пересечения. Таким же образом треугольники B1OC1 подобен BOC, а C1OD1 подобен COD. Коэффициент подобия находим из соотношения OA1 /OA . Если стороны треугольников подобны значит и сами треугольники ABC и A1B1C1 подобны. Периметр ABC умноженный на коэффициент подобия будет равен периметру A1B1C1. периметр A1B1C1 = (a+b+c) (m+n)/m
Проведѐм анализ этой задачи.
Предположим, что задача решена — нарисуем
окружность с центром O и правильный треугольник
ABC, вписанный в неѐ.
Если провести радиусы в вершины этого треугольника,
то можно увидеть на рисунке три равных между собой
треугольника: OAB, OBC, OCA.
Треугольники эти равны по трѐм сторонам (две
стороны в каждом таком треугольнике – это радиусы
данной окружности, а третья сторона каждого из
них — это сторона правильного треугольника ABC).
Но тогда равны углы при вершине O в каждом из них.
А так как полный угол равен 3600
, то величина каждого из углов при вершине O в этих
треугольниках равна 1200
. Это наблюдение приводит к мысли о том, как решить
предложенную задачу.
1
1. Провести окружность.
2. Провести из центра окружности отрезок к точке
на окружности, то есть радиус окружности.
3. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов по часовой стрелке.
4. Повернуть его относительно центра окружности
на 120 градусов против часовой стрелки.
5. Соединить отрезками полученные на
окружности точки – концы трѐх радиусов.
Треугольник, сторонами которого являются построенные три отрезка, будет
правильным.
Доказательство
Пусть O — центр окружности, OA — первоначально построенный радиус, B и
C — полученные при таком построении точки. Отрезки OA, OB, OC равны как
радиусы одной окружности. Треугольники OAB, OBC, OCA равны по первому
признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что отрезки AB, BC, CA равны
между собой, а потому треугольник ABC — правильный.
2
1. Провести окружность. Обозначить ее центр O.
2. Провести прямую через точку O, найти точки
пересечения прямой и окружности, обозначить
их A и B.
3. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30°, найти точку пересечения полученной
прямой и окружности, обозначить ее C.
4. Повернуть прямую AB относительно точки B на
30° в другую сторону от диаметра AB, найти
точку пересечения полученной прямой и
окружности, обозначить ее D.
5. Построить отрезок CD.
6. Соединить отрезками полученные на окружности точки.
Доказательство
Проведѐм радиус OC. OC = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBC -
равнобедренный, поэтому угол OCB равен 30°.
Проведѐм радиус OD. OD = OB как радиусы
окружности, следовательно треугольник OBD -
равнобедренный, поэтому угол ODB равен 30°.
Получаем, что треугольники OBC и OBD равны (по стороне и двум углам), откуда
следует, что BС = BD . В равнобедренном треугольнике CBD угол CBD равен 60°.
Согласно одному из признаков равностороннего треугольника, треугольник CBD
является равносторонним.
Рассказ учителя
2 также может предшествовать анализ. Он
может быть проведѐн следующим образом. При
анализе, предшествующем первому построению, был
использован радиус исходной окружности. Можно
исходить из диаметра окружности.
Пусть равносторонний треугольник ABC вписан в
окружность с центром O. Проведѐм диаметр BD этой
окружности.