Объяснение:
r - радиус вписанной окружности, r = 12 см.
АВ = NP = 2r = 2 x 12 = 24 см.
СН - высота трапеции, СН = АВ = 24 см.
По теореме Пифагора в треугольнике НСD:
CD^2 = CH^2 + HD^2;
25^2 = 24^2 + HD^2;
625 = 576 + HD^2;
HD^2 = 49;
HD = 7 см.
Пусть NC = x см. Тогда по свойству касательных СК = NC = х см.
DK = DC - CK = 25 - x.
PH = NC = x;
DP = DH + PH = 7 + x.
По свойству касательных: DP = DК. Получим уравнение:
7 + х = 25 - х;
х + х = 25 - 7;
2х = 18;
х = 9.
NC = 9 см;
ВС = BN + NC = r + x = 12 + 9 = 21 см;
AD = AP + PD = r + 7 + x = 12 + 7 + 9 = 28 см.
Периметр трапеции:
P = AB + BC + CD + AD = 24 + 21 + 25 + 28 = 98 см.
Прямая Е1F II ВC1 (ну, мелочи сами обоснуйте :)), поэтому плоскость В1Е1FA II ВC1 (тут надо обосновать уже то, что такую плоскость МОЖНО провести). Поэтому расстояние между прямыми AB1 и BC1 - это расстояние от BC1 до плоскости B1E1FA.
Можно пойти еще дальше, и построить плоскость, содержащую BC1 и параллельную плоскости B1E1FA. Это - плоскость BC1D1E. Расстояние между прямыми AB1 и BC1 равно расстоянию между этими параллельными плоскостями.
А теперь (главное - не останавливаться !:) ) можно построить плоскоть, перпендикулярную ОБЕИМ постороенным плоскостям. Если К - середина CD, К1 - середина C1D1, M - середина AF, M1 - середина A1F1, то плоскость KK1MM1 перендикулярна BC1D1E, потому что содержит КМ, перпендикулярную BE, а ВЕ перпендикулярна и КК1, и плоскость KK1MM1 перпендикулярна B1E1FA, поскольку содержит В1Е1, а В1Е1 перпендикулярна КК1 (напоминаю, что если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны).
Поскольку плоскость КК1М1М пересекает ВС1D1E по прямой К1О (O - центр нижнего основания) и АВ1Е1F по прямой О1М (О1 - центр верхнего основания), то задача свелась к нахождению расстояния между параллельными прямыми К1О и О1М.
Ну, и чтобы уж совсем стало просто - такое расстояние очевидно равно высоте к гипотенузе в прямоугольном треугольнике К1ОО1 (это - расстояние от О1 до К1О).
ОО1 = 1, К1О1 = √3/2, ОК1 = √(ОО1^2 + K1O1^2) = √7/2;
h = K1O1*OO1/OK1 = √(3/7)
С тем же успехом вместо KK1M1M можно взять плоскость АСС1А, которая ей параллельна. Но в этом случае муторнее доказывать перпендикулярность плоскостей (хотя тоже не сложно).
Еще раз - смысл решения. Я построил ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ плоскости, каждая из которых содержит ОДНУ из скрещивающихся прямых. Такое построение для двух скрещивающихся прямых ЕДИНСТВЕННО, и расстояние между прямыми равно расстоянию между построенными плоскостями. Затем я построил плоскость, перпендикулярную ОБЕИМ параллельным плоскостям (достаточно доказать перпендикулярность одной из них) . И - последнее, - я нашел расстояние между параллельными прямыми, по которым эти три плоскости пересекаются. Это и есть искомое расстояние.