Задание 2. а)Угол КАВ, образованный касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине величины дуги АВ, заключённой между его сторонами, центральный угол АОВ тоже опирается на дугу АВ, а угол АСВ- вписанный угол, опирающийся на дугу АВ, поэтому равен половине величины центрального угла.
б)Т.о., углы АСВ и КАВ равны. А т.к. АК и КВ - отрезки касательных, проведенных из одной точки к одной окружности, то АК=КВ, т.е. ΔКАВ- равнобедренный.
в) т.к. по условию АС║КВ, то по свойству внутренних накрест лежащих при указанных параллельных прямых и секущей АВ ∠АВК=∠ВАС. значит, по двум углам треугольники КАВ и АСВ подобны, значит, сходственные стороны у них пропорциональны. АВ/ВС=АК/АС=к- коэффициент пропорциональности , Площадь треугольника АВС равна ВС*АС*sin∠ACB; площадь треугольника КАВ равна
АК*АВ*sin∠КАВ. Синусы равных углов равны. Отношение площадей (АК*АВ*sin∠КАВ)/(BC*АС*sin∠ACB)=АК*АВ/ВС*АС=к²; получается, что от угла не зависит отношение. Это для любого треугольника, а если к тому же треугольник АВС равнобедренный с основанием АВ, то все углы в нем по 60°, т.е. он получается равносторонним. т.е. угол и выбирать не надо по этому условию он уже определен. А из того, что угол равен 60°, следует равенство данных треугольников, значит, отношение их площадей равно единице.
" В треугольник с углами 62° и 78° вписан круг, который касается сторон треугольника в точках k, p и t. найдите углы треугольника kpt."
Объяснение:
Oкр O (r) вписана в ΔАВС ,∠А=62°, ∠В=78°
Найти углы ΔКРТ
Решение .
По т. о сумме углов треугольника ∠С=180°-78°-62°=40°.
По свойству радиуса , проведенного в точку касания ОК⊥АВ, ОР⊥ВС, ОТ⊥АС. Сумма углов 4-х угольника равна 360°.Поэтому
в 4-х угольнике АКОТ :∠КОТ=360°-2*90°-62°=118° ;в 4-х угольнике ВРОК :∠КОР=360°-2*90°-78°=102° ;в 4-х угольнике СРОТ :∠РОТ=360°-2*90°-40°=140° .Получившиеся треугольники с общей вершиной О -являются равнобедренными , т.к ОК=ОР=ОТ=r ⇒ углы при основании равны :
ΔОКТ , ∠К=∠Т=(180°-118°):2=31° ;ΔОРК , ∠К=∠Р=(180°-78°):2=39° ;ΔОТР , ∠Т=∠Р=(180°-140°):2=20° .Поэтому углы ΔКРТ :∠К=70° ,∠Р=59°, ∠Т=51°
Пусть А - вершина конуса. Из т. А опустим образующую, которая пересечет верхнее и нижнее основания в точках В1 и В соответственно. т. О1 и О - центры верхнего и нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Угол ВАО=180-АОВ-АВО=180-90-60=30. Т.к. ОВ - катет, лежащий против угла в 30 градусов, то ОВ=АВ/2=2а/2=а
По условию верхний радиус = нижний радиус/2=а/2
ответ: а и а/2