Question

Грозит отчисление 1.даны векторы: m(2,-1,4), n=2i+j-k. найти скалярное произведение (m+n)(m-2n) 2.даны вектора: |c|=3 , |d|=4 ,(с^d)=90. найти скалярное произведение (2c+d)(c-2d) 3.при каком значении β вектор а(3,-1,6) перпендикулярен вектору в(β,2,0)
4.найти модуль вектора с-2d ,если с(2,-1,0) ,d(3,-1,4) 5.даны векторы а(3,-2,0) , в(1,3,-4) .найти косинус угла между ними. 6.при каких значениях α и β векторы р(5,α,2) ,q(β,-6,4) коллинеарны?

Answer 1

1. m(2,-1,4)

    n=2i+j-k , значит его координаты равны (2;1;-1)

    находим координаты вектора m+n(2+2;-1+1;4-1)

                                                  m+n(4;0;3)

   находим координаты вектора -2n(-4;-2;2)

   находим координаты вектора m-2n(2-4;-1-2;4+2)

                                                 m-2n(-2;-3;6)

   Скалярное произведение (m+n)(m-2n)=4*(-2)+0*(-3)+3*6=10

2.(2c+d)(c-2d)=2c^2+dc-4dc-2d^2=

    =2|c|*|c|*cos 0 -3|c|*|d|*cos(c,d)-2|d|*|d|*cos 0=

    =2*3*3*1-3*3*4*0-2*4*4*1=18-0-32=-14

3.а(3,-1,6) перпендикулярен вектору в(β,2,0)при условии а*в=0

      3β+(-1)*2+6*0=0

      3β-2=0

      3β=2

      β=2/3

4.|с-2d|-? ,если с(2,-1,0) ,d(3,-1,4)

    -2d(-6;2;-8)

    c-2d(2-6;-1+2;0-8)

    c-2d(-4;1;-8)

   |c-2d|=sqrt{(-4)^2+1^2+(-8)^2}=sqrt{81}=9

5.а(3,-2,0) , в(1,3,-4)

  a*b=3*1+(-2)*3+0*(-4)=3-6=-3

|a|=sqrt{3^2+(-2)^2+0^2}=sqrt{13}

|b|=sqrt{1^2+3^2+(-4)^2}=sqrt{26}=sqrt{2}*sqrt{13}

cos(a,b)=(a*b)/(|a|*|b|)=-3/(sqrt{13}sqrt{13}sqrt{2})=

                                     =-3/(13sqrt{2})=-3sqrt{2}/26

6.р(5,α,2) ,q(β,-6,4) коллинеарны, если выполняется условие  5:в=а:(-6)=2:4

  Из пропорции а:(-6)=2:4 найдём а 

                        а=(-6)*2:4=-3

 Из пропорции 5:в=2:4 найдём в

                       в=5*4:2=10

 ответ: а=-3, в=10