Question

Вправильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное b, наклонено к основанию под углом a. через вершину пирамиды параллельно стороне основания проведено сечение, наклоненное к плоскости основания под углом b. определить площадь сечения.

Answer 1

Исходя из геометрии задачи и рисунка 4 в приложении, найдем высоту данной пирамиды:

$sina=\frac{h}{b}$

$h=bsina$

Так как в основании пирамиды лежит правильный треугольник, найдем радиус его основания, как показано на рисунке 3 в приложении:

$tga=\frac{h}{R}$

$R=\frac{h}{tga}=\frac{bsina}{tga}=bcosa$

Так как треугольник основания правильный, найдем величину радиуса, как показано на рисунке 3, углы при основании прямоугольных треугольника будут равны, тогда длина стороны данного треугольника будет равна:

$cos30=\frac{\frac{v}{2}}{R}=\frac{v}{2R}$

$v=2Rcos30=R\sqrt3=b\sqrt3cosa$

Так как у правильной пирамиды ребра равны, найдем величину апофемы w, исходя из прямоугольного треугольника бокой грани:

$w=\sqrt{b^2-(\frac{v}{2})^2}=\sqrt{b^2-\frac{v^2}{4}}=\sqrt{b^2-\frac{3b^2cos^a}{4}}=\frac{b}{2}\sqrt{4-3cos^2a}$

Так как проведенное сечение образует еще одну правильную пирамиду, с правильным треугольником в основании, как показано на рисунке 3, но полученная призма является наклонной, и высоты обеих призм совпадают, тогда можем найти высоту проведенную в сечении (обозначенную буквой g) исходя из рисунка 4:

$sinB=\frac{h}{g}$

$g=\frac{h}{sinB}=\frac{bsina}{sinB}$

Тогда используя теорему синусов найдем угол G в том же треугольнике:

$\frac{g}{sinG}=\frac{w}{sinB}$

$sinG=\frac{gsinB}{w}=\frac{\frac{bsina}{sinB}sinB}{w}=\frac{bsina}{w}$

Тогда зная углы G и B найдем величину угла T:

$T=180-G-B$

Угол B задан в условии а угол G будет равен:

$G=arcsin(\frac{bsina}{w})=arcsin(\frac{bsina}{\frac{b}{2}\sqrt{4-3cos^2a}})=arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}})$

Тогда угол T будет равен:

$T=180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}})$

Тогда исходя из теоремы синусов найдем длину стороны z:

$\frac{z}{sinT}=\frac{g}{sinG}$

$z=\frac{gsinT}{sinG}=\frac{gsinT}{\frac{gsinB}{w}}=\frac{wsinT}{sinB}$

Как показано на рисунке 3 величина z характеризует разность высот обоих треугольников, тогда получаем:

$h_2=h_1-z$ где $h_2$высота меньшего треугольника, а $h_1$высота большего треугольника.

Так как треугольники правильные, высота будет вычисляться по формуле:

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

Получаем:

$h_2=\frac{\sqrt{3}}{2}v-z=\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}$

т.к:

$h_2=\frac{\sqrt{3}}{2}y$

Получаем:

$y=\frac{2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}v-z)}{\sqrt{3}}=2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}}{\sqrt{3}})$

Так как сечение состит из двух прямоугльных треугольников как показано на рисунке 2, тогда его площадь будет равна:

$S=\frac{gy}{2}+\frac{gy}{2}=gy$

Получаем:

$S=gy=\frac{bsina}{sinB}*(2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}v-\frac{wsinT}{sinB}}{\sqrt{3}}))=$

$=\frac{bsina}{sinB}*(2(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}b\sqrt3cosa-\frac{wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))}{sinB}}{\sqrt{3}}))=$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{bsina}{sin^2B}*(\frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))$

$S=\frac{2}{\sqrt{3}}*\frac{bsina}{sin^2B}*(\frac{3}{2}bcosasinB-wsin(180-B-arcsin(\frac{2sina}{\sqrt{4-3cos^2a}}))$

Answer 2

Для начала замечу, что сечение может быть расположено как между высотой и основанием, так между высотой и ребром.

Принцип решения один и тот же. 

--------------------------------------------------------------------------

 Из вершины пирамиды проведем наклонную SH  под углом β к плоскости ее основания.

Через Н проведем прямую КЕ║АВ

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости

АВ- не лежит в плоскости треугольника SKE,  параллельна КЕ, лежащей в этой плоскости, следовательно,  плоскость ᐃ КSЕ║АВ

Для решения задачи нужно найти высоту SН и основание KE  ᐃ КSЕ.

Делать это будем по шагам. 

SO=b*sin α

СО=SC*cos α=b*cos α

SH=SO:sin β = b*sin α:sin β

OH= SO:tg β= b*sin α : tg β

CH=CO+OH= b*cos α + b*sin α : tg β

Так как КЕ║АВ, треугольник КСЕ подобен равностороннему АСВ и также является равносторонним.

∠НЕС=60°

CE=CH:sin (60°)= (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

KE=CE

S ᐃSKE=SH*KE:2

S ᐃSKE= 1/2)*(b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β)*2:√3

S ᐃSKE = (b*sin α:sin β)* (b*cos α + b*sin α:tg β) :√3 =

S ᐃSKE = b² (sin α:sin β)*(cos α + sin α:tg β) :√3

 --------------------------