ответ: ∠А1=40°; ∠В1=60°; ∠С1=80°
Объяснение: Треугольник АВС - тупоугольный, поэтому высоты из острых углов В и С пройдут перпендикулярно продолжениям сторон СА и ВА вне его плоскости.и пересекутся в некоторой точке К.
Прямоугольные треугольники АВВ1 и АСС1 - подобны по острому углу при А ( эти углы равны как вертикальные) Эти же острые углы при А смежные углу ВАС и равны 180°-110°=70° каждый.
В ∆ АВВ1 и ∆ АСС1 ∠ АВВ1 и ∠АСС1 равны 90°-70°=20°
В ∆ ВКА1 ∠ВКА1=90°-(40°+20°)=30°.
В ∆ СКА1 ∠СКА1=90°-(30*=20°)=40°
Последовательно найдем части углов ∆ А1В1С1 и углы А1, С1, В1.
а) Гипотенуза прямоугольных ∆ ВКС1 и ∆ СКА1 - общая => вокруг них можно описать окружность с диаметром ВК.
Вписанный ∠ВС1А1=∠ВКА1=30° ( опираются на одну дугу ВА1)
Вписанный ∠КА1С1=КВС1=20° ( опираются на одну дугу КС1)
б) Гипотенуза КС - общая для прямоугольных треугольников КСА1 и КСВ1. Вокруг них опишем окружность с диаметром КС.
Вписанный ∠КА1В1=КСВ1=20° ( опираюстя на одну дугу КВ1)=>
В треугольнике А1В1С1 ∠А1=угол В1А1К+КА1С1=40°
Вписанный ∠СВ1А1=СКА1=40° (опираются на дугу СА1)
с) Гипотенуза ВС прямоугольных треугольников ВВ1С и ВС1С общая. Опишем вокруг низ окружность с диаметром ВС.
Вписанный ∠ВС1А1 =углу ВКА1=30°=>
В треугольнике А1В1С1 ∠С1=В1С1В+ВС1А1=30°+30°=60°
Из суммы углов треугольника ∠С1=180°-∠А1-∠В1=180°-40°-60°=80°
=========
Есть более короткий решения по теореме: В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному. Величина искомых углов получится той же, что в данном решении.
ответ: ∠С1А1В1=100°; ∠А1В1С1=48°; ∠В1С1А1=32°
Объяснение:
Треугольник, образованный основаниями высот некоторого треугольника, называется ортотреугольником. .
В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник, подобный данному (теорема).
1) ∆ С1ВА1~∆ АВС, ∠ВС1А1=∠С=74°, ∠ВА1С1=∠А=40°
2) ∆ АС1В1~∆ АВС, ∠АС1В1=∠С=74°, ∠ АВ1С1=∠ В=66°
3) ∆А1СВ1~ ∆ АВС, ∠СА1В1=∠А=40°, ∠СВ1А1=∠ В=66°
Основания высот на сторонах ∆ АВС являются вершинами развёрнутых углов
Из угла АС1В -∠В1С1А1=180°-2•74°=32°
Из ВА1С - ∠С1А1В1=180°-2•40°=100°
Из СВ1А - ∠ А1В1С1=180°-2•66°=48°
.