В правильной треугольной пирамиде высота основания равна h, боковые рёбра наклонены к основанию под углом α. Найти объём пирамиды.
===========================================================
В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Вершина такой пирамиды проецируется в центр основания. Центр правильного треугольника является точка О - точка пересечения бисссектрис, медиан и высот. СН = h , ∠ACB = αВ ΔАВС: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.СО:ОН = 2:1 ⇒ СО = 2•СН/3 = 2h/3В ΔСАН: sin60° = CH/AC ⇒ AC = CH/sin60° = CH/(√3/2) = 2h/√3В ΔСМО: tgα = MO/CO ⇒ MO = CO•tgα = 2h•tgα/3V пир. = (1/3)•Sabc•MO = (1/3) • (AC²•√3/4) • MO = (1/3) • (2h/√3)² • (√3/4) • (2h•tgα/3) = 2√3•h³•tgα/27ОТВЕТ: V = 2√3•h³•tgα/27
SABCD - пирамида, SH высота, O - середина высоты, OL расстояние от высоты до боковой грани, HM перпендикуляр к BC (и середина, так как в оснований квадрат) так как боковые грани наклонены к основанию под углом 60 гр, то HSM=60/2=30 гр
Тогда SO=2*2=4 ( лежит на против угла 30 гр в прямоугольньном треугольнике SOL) значит SH=8 откуда HM=8*tg30=8/sqrt(3) значит AB=BC=CD=AC=2*HM=16/sqrt(3)
тогда S(осн)=AB^2=256/3
Откуда V=(256/3)*8/3 =2048/9