На рисунке прямые а и b пересечены секущей с. Сумма углов 3 и 4 равна 230° Величина угла 1 равна 65°. Доказать, что прямые а и b параллельны и найти углы 5 и 6.
Вот решение, попробуйте разобраться. :) Если повернуть фигуру вместе с точкой M на 60° вокруг центра окружности, то точка M перейдет в точку N, лежащую уже на дуге BC (треугольник при этом перейдет сам в себя). Ясно, что NB = MA, NC = MB. Поэтому MBNC - равнобедренная трапеция (то есть MC II BN); (внимание, это предложение и есть, собственно, решение задачи) Поскольку угол этой трапеции при основании MC равен 60° независимо от положения точки M (это вписанный угол, опирающийся на дугу в 120°), проекции равных боковых сторон MB и NC на основание MC равны их половинам, откуда и следует, что основание MC равно сумме второго основания NB = MA и боковой стороны NC = MB; то есть MC = MA + MB
Найдем точку пересечения диагоналей прямоугольника. Координаты середины вектора АС (диагональ) равны: О(3,5;0,5). Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала. Тогда вектор АО{3,5;0,5}, а вектор ВО{2,5;-2,5}. Это половины диагоналей и угол между ними находим по формуле: cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)]. В нашем случае: cosα=(3,5*2,5+0,5*2,5)/[√(3,5²+0,5²)*√(2,5²+(-2,5)²)]. cosα=(8,75+1,25)/[√(12,25+0,25)*√(6,25+6,25)]. Или cosα=10/12,5=0,8. Значит угол α≈36°
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение находим по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2. Вектор АВ{1;3} Вектор ВС{6;-2} (ABxBC)=6+(-6)=0. Значит стороны АВ и ВС перпендикулярны. Следовательно, АВСD - прямоугольник.
Углы 3=4, как вертикальные, значит:
3=4=230/2=115
Угол 6+угол 4=180, как смежные
Угол 6=180-115=65
Угол 6=углу 1, как соответственные, значит прямые а и b параллельны
Угол 5=180-65=115, как односторонние
ответ: угол 6=65°; угол 5=115°