1) Построим острый угол равный данному (рис. 1). Для этого:
1. Из вершины угла α проведём окружность с произвольным радиусом r. На луче OL построим окружность с центром в точке O и радиусом r.
2. С циркуля замерим расстояние (k) между точками пересечения окружности с углом α. Из точки пересечения окружности с лучом OL проведём окружность с радиусом k.
3. Проведём луч через начало исходного луча и одну из точек пересечения окружностей. Получим угол, равный углу α.
2) Построим первую вершину (A) квадрата (рис. 2), проведя параллельную прямую равноудалённую от одной из сторон угла на a (рис. 2). Для этого:
1. Проведём два перпендикуляра на одной стороне угла, для этого:
1.1. Из любой точки стороны угла проведём окружность произвольного радиуса v. В точках пересечения окружности со стороной угла, проведём окружности радиусом t, t > v. И соединим две точки пересечения окружностей с радиусом t. Так мы получили один перпендикуляр, аналогично получим и второй.
2. С циркуля отложим на этих перпендикулярах отрезки равные a, при этом они лежат в одной полуплоскости от стороны угла. Проведём прямую через концы отрезков, не лежащие на стороне угла. Точку пересечения этой прямой со второй стороной угла отметим, как A.
3) Построим вторую вершину (B)квадрата (рис. 3), проведя перпендикуляр из точки A на сторону угла, не содержащую эту прямую. Для этого:
1. Замерим расстояние m, с циркуля, между точками O и A. Из точки A проведём окружность с радиусом m. Из точек пересечения этой окружности с другой стороной угла (точки O и A₁), проведём окружности с радиусом m. Точки пересечения этих окружностей соединим прямой, которая и будет перпендикуляром.
2. Точку пересечения перпендикуляра со стороной угла, отличную от точки A, отметим точкой B.
4) Построим третью вершину (C) квадрата (рис. 4). Для этого:
1. С циркуля замерим длину a.
2. На луче OB, от точки B, отложим с циркуля отрезок a, второй его конец отметим точкой C.
5) Построим четвёртую вершину (D) квадрата (рис. 4). Для этого:
1. Из точек A и C проведём окружность радиусом a.
2. Одной точкой пересечения, будет точка B, а другую точку отметим, как D.
6) Соединим вершины A и B, B и C, С и D, D и A. Получили квадрат, 2 вершины которого принадлежат одной стороне угла α (вершины B и C), а третья (A) - другой.
Биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают между собой. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, равны между собой. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны." Решение: Итак, треугольники АМD и DNC - равны между собой, так как AD=DC (BD- медиана), NC=МA (так как МВ=BN - дано, а АВ=ВС - треугольник АВС равнобедренный) и улы ВАС и ВСА между равными сторонами равны. Из равенства тр-ков вытекает равенство сторон МD и ND. Что и требовалось доказать
Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
Доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана.
PS построения не сложные. - прямая, 2 точки на ней, одна точка вне прямой и два отрезка, соединяющие эту точку с точками на прямой..))) Но, если очень надо, - то файлик внизу с рисунком..)) И еще. Упоминание о том, что все это происходит на плоскости, - желательно. Дело в том, что всем нам с детства знакомы меридианы на географической сетке Земного шара. Так вот каждый меридиан перпендикулярен экватору, и все меридианы сходятся аж в двух точках : в Северном и Южном полюсах
Дано: острый угол α и сторона a.
Построение:
1) Построим острый угол равный данному (рис. 1). Для этого:
1. Из вершины угла α проведём окружность с произвольным радиусом r. На луче OL построим окружность с центром в точке O и радиусом r.
2. С циркуля замерим расстояние (k) между точками пересечения окружности с углом α. Из точки пересечения окружности с лучом OL проведём окружность с радиусом k.
3. Проведём луч через начало исходного луча и одну из точек пересечения окружностей. Получим угол, равный углу α.
2) Построим первую вершину (A) квадрата (рис. 2), проведя параллельную прямую равноудалённую от одной из сторон угла на a (рис. 2). Для этого:
1. Проведём два перпендикуляра на одной стороне угла, для этого:
1.1. Из любой точки стороны угла проведём окружность произвольного радиуса v. В точках пересечения окружности со стороной угла, проведём окружности радиусом t, t > v. И соединим две точки пересечения окружностей с радиусом t. Так мы получили один перпендикуляр, аналогично получим и второй.
2. С циркуля отложим на этих перпендикулярах отрезки равные a, при этом они лежат в одной полуплоскости от стороны угла. Проведём прямую через концы отрезков, не лежащие на стороне угла. Точку пересечения этой прямой со второй стороной угла отметим, как A.
3) Построим вторую вершину (B)квадрата (рис. 3), проведя перпендикуляр из точки A на сторону угла, не содержащую эту прямую. Для этого:
1. Замерим расстояние m, с циркуля, между точками O и A. Из точки A проведём окружность с радиусом m. Из точек пересечения этой окружности с другой стороной угла (точки O и A₁), проведём окружности с радиусом m. Точки пересечения этих окружностей соединим прямой, которая и будет перпендикуляром.
2. Точку пересечения перпендикуляра со стороной угла, отличную от точки A, отметим точкой B.
4) Построим третью вершину (C) квадрата (рис. 4). Для этого:
1. С циркуля замерим длину a.
2. На луче OB, от точки B, отложим с циркуля отрезок a, второй его конец отметим точкой C.
5) Построим четвёртую вершину (D) квадрата (рис. 4). Для этого:
1. Из точек A и C проведём окружность радиусом a.
2. Одной точкой пересечения, будет точка B, а другую точку отметим, как D.
6) Соединим вершины A и B, B и C, С и D, D и A. Получили квадрат, 2 вершины которого принадлежат одной стороне угла α (вершины B и C), а третья (A) - другой.