Question

Ребята !!2. Сфера задана уравнением (x+1)2 + y2 +(z-3)2 = 25. а) Покажите, что точка A(-1;3; -1) принадлежит сфере.

a) Запишите координаты вектора ОА, где О — центр сферы.

b) Составьте общее уравнение плоскости, касательной к сфере, проходящей через точку А

c) Найдите расстояние от центра сферы до плоскости 2x- y+2z-5=0 и определите взаимное расположение сферы и данной плоскости.

​

Answer 1

a) Для того чтобы показать, что точка A(-1;3; -1) принадлежит сфере, нужно подставить ее координаты в уравнение сферы и проверить, будет ли уравнение выполнено.

Заменяем x, y и z в уравнении сферы на -1, 3 и -1 соответственно:

(-1+1)2 + 32 + (-1-3)2 = 0 + 9 + 16 = 25

Таким образом, значение уравнения сферы при подстановке точки А равно 25, что подтверждает, что точка A принадлежит сфере.

b) Чтобы составить общее уравнение плоскости, касательной к сфере и проходящей через точку А, нужно знать, что радиус вектор из центра сферы О в точку А будет перпендикулярен плоскости.

Найдем вектор ОА: О = (x₀, y₀, z₀) - центр сферы, А = (x₁, y₁, z₁) - точка на сфере

ОА = (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀)

В нашем случае, центр сферы О = (-1, 0, 3) и точка A = (-1, 3, -1), поэтому вектор ОА = (-1 - (-1), 3 - 0, -1 - 3) = (0, 3, -4).

Теперь воспользуемся общим уравнением плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.

Так как вектор ОА перпендикулярен плоскости, его координаты должны быть параллельны коэффициентам уравнения плоскости. То есть, A = 0, B = 3, C = -4.

Используя координаты точки А и найденные коэффициенты, можем составить общее уравнение плоскости: 3y - 4z + D = 0.

c) Чтобы найти расстояние от центра сферы до плоскости, нужно воспользоваться формулой:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)

В нашем случае, уравнение плоскости равно 2x - y + 2z - 5 = 0, поэтому A = 2, B = -1, C = 2, D = -5. А координаты центра сферы О = (-1, 0, 3), поэтому x₀ = -1, y₀ = 0, z₀ = 3.

Подставим значения в формулу:

d = |2(-1) + (-1)(0) + 2(3) - 5| / √(2² + (-1)² + 2²) = |-2 + 0 + 6 - 5| / √(4 + 1 + 4) = 1 / √9 = 1/3.

Расстояние от центра сферы до плоскости равно 1/3.

Также, чтобы определить взаимное расположение сферы и данной плоскости, можно сравнить это расстояние с радиусом сферы. Если расстояние меньше радиуса, то плоскость пересекает сферу. Если расстояние равно радиусу, то плоскость касается сферы. Если расстояние больше радиуса, то плоскость не пересекает сферу. В данном случае, радиус сферы равен 5, а расстояние от центра сферы до плоскости равно 1/3, что меньше радиуса. Значит, плоскость пересекает сферу.