а) Диагональ призмы.
Находим высоту h призмы.
Определяем ВD = 4/cos 45° =4/(1/√2) = 4√2.
h = BD*tg 60° = 4√2*tg 60° = 4√2*√3 = 4√6.
Тогда диагональ равна:
B1D = √(4√6)² + (4√2)²) = √(96 + 32) = √128 = 8√2.
б) Угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани.
Диагональ боковой грани АВ1 является проекцией B1D на боковую грань. Поэтому угол α и есть искомый угол.
А1В = √(4² + h²) = √(16 + 96) = √112 = 4√7.
tg α = 4/A1B = 4/(4√7) = 1/√7 = √7/7.
α = arctg(√7/7) = arctg0,37796 = 20,70481 градуса.
в) Площадь боковой поверхности призмы.
Sбок = 4*(4*h) = 4*4*4√6 = 64√6 кв.ед.
г) Площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.
S = 4*AB1 = 4*4√7 = 16√7 кв.ед.
Находим длины отрезков, отсекаемых четвёртой гранью на осях.
Из прямоугольных треугольников с катетами на осях составляем систему.
{a² + c² = (2√5)² {a² + c² = 20
{b² + c² = 5² {b² + c² = 25
{a² + b² = (√13)² {a² + b² = 13.
Из второго уравнения вычтем первое: b² - a² = 5 или b² = a² + 5. Подставим величину b² в третье уравнение:
a² + a² + 5 =13, получаем 2a² = 8, отсюда a² = 8/2 = 4, и а = √4 = -2.
Знак минус по условию расположения точки А.
Величина b = √(a² + 5) = √(4 + 5) = √9 = 3.
Значение с находим из второго уравнения:
C = √(25 - b²) = √(25 - 9) = √16 = 4.
Получаем уравнение плоскости в отрезках.
(x/ (-2)) + (y/3) + (z /4) = 1.
Приведём к общему знаменателю.
(-6x/ 12) + (4y/12) + (3z /12) = 12/12.
Отсюда получаем общее уравнение плоскости.
-6x + 4y + 3z – 12 = 0.