2. Из свойств медиан известно, что Ma<(b+c)/2 Mb<(a+c)/2 Mc<(a+b)/2 Сложим эти неравенства
Ma+Mb+Mc<(b+c)/2+(a+c)/2+(a+b)/2=a+b+c=p
То есть, сумма длин медиан меньше периметра
Пусть ABC – треугольник, а точка O – точка пересечения медиан, тогда сумма двух сторо треугольника больше третьей
BO+OA>BA
AO+OC>AC
CO+OB>CB
Сложим эти неравенства
2*BO+2*AO+2*OC>BA+AC+CB
Учитывая то, что
AO=2Ma/3
BO=2Mb/3
CO=2Mc/3
Получим
2*2*Ma/3+2*2*Mb/3+2*2Mc/3=BA+AC+CB
(4/3)*(Ma+Mb+Mc)=BA+AC+CB
(Ma+Mb+Mc)=(3/4)*(BA+AC+CB)
EO и OF - являются расстояниями от точки пересечения диагоналей до основания BC и AD, соответственно. ЕО - высота треугольника BOC и OF - высота треугольника AOD.
∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC
∠BOC = ∠AOD как вертикальные
Следовательно, ΔBOC ~ ΔAOD (по двум углам).
Соответствующие высоты подобных треугольников относятся как соответствующие стороны, их коэффициент подобия есть отношение расстояний k = OF/OE = 9/3 = 3
Пусть BC = x см, тогда AD = 3x см. Из условия BC + AD = 24
x + 3x = 24
4x = 24
x = 6 см.
Итак, основания трапеции 6 см и 3*6 = 18 см.