Вправильной четырехугольной призме авсда1в1с1д1 стороны основания равны 3, а боковые ребра равны 4.на ребер аа1 отмечена точка е, так что ае: еа1=1: 3 .найдите угол между плоскостями авс и веd1
Обратите внимание - все размеры на чертеже относятся к задаче с другими числовыми данными! Правильная только схема решения и общий вид. Поэтому внимательно разберитесь в построениях и решении.
Ясно, что АЕ = 3, ЕА1 = 2. Линия пересечения АВС и ВЕD1 строится так. Продлевается АD за точку А до пересечения М с продолжением D1E. Через точку М и точку В в плоскости АВСD проводится прямая до пересечения с продолжением DC, это точка F. F и D1 соединяются в плоскости DCC1D1. Точка пересечения D1F c С1С - точка К соединяется с В. Четырехугольник ВЕD1K - сечение, прямая МF - линия пересечения АВС и ВЕD1.
Тр-ки А1ЕD1 и МЕА подобны, откуда МА = 3. Треугольники ВСF и МАВ подобны, поэтому FC = 4/3 (размеры на чертеже, в том числе и вычисляемые - к другому условию!). Получился треугольник DMF со сторонами MD = 5, DF = 10/3;
Очевидно, что если из вершины прямого угла этого треугольника провести перпендикуляр на MF и соединить его основание с D1, то получится искомый линейный угол двугранного угла (обозначим Ф). Поэтому нам надо определить в треугольнике DMF высоту к гипотенузе MF (обозначим h), тогда тангенс угла Ф будет равен DD1 = 5, деленному на эту высоту.
MFD - прямоугольный треугольник с катетами 5 и 10/3,
Плоскость ABC=ABCD. Проекция CB1D1 на ABCD,не что иное как треугольник CBD . Тогда если b-угол между плоскостями ABC и CB1D1,то cos(b)=S(CBD)/S(CB1D1) S-площадь. Пусть сторона куба равна a,тогда величина диагонали равна :a*√2 (Из теоремы Пифагора). Очевидно,что треугольник :CB1D1-равносторонний,со стороной a*√2. А треугольник CBD-прямоугольно-равнобедренный ,с величиной катета a. S(CB1D1)=( (a*√2)^2 *√3) )/4 = = ( a^2*√3)/2 S(CBD)=a^2/2. Откуда : cos(b)=(a^2/2)/ ( (a^2*√3)/2)= =1/√3=√3/3. b=arccos(√3/3). P.S кто то очень умный,скажет что этот угол можно точно посчитать,а вот и нет,это можно было бы посчитать,только для тангенса.
Плоскость ABC=ABCD. Проекция CB1D1 на ABCD,не что иное как треугольник CBD . Тогда если b-угол между плоскостями ABC и CB1D1,то cos(b)=S(CBD)/S(CB1D1) S-площадь. Пусть сторона куба равна a,тогда величина диагонали равна :a*√2 (Из теоремы Пифагора). Очевидно,что треугольник :CB1D1-равносторонний,со стороной a*√2. А треугольник CBD-прямоугольно-равнобедренный ,с величиной катета a. S(CB1D1)=( (a*√2)^2 *√3) )/4 = = ( a^2*√3)/2 S(CBD)=a^2/2. Откуда : cos(b)=(a^2/2)/ ( (a^2*√3)/2)= =1/√3=√3/3. b=arccos(√3/3). P.S кто то очень умный,скажет что этот угол можно точно посчитать,а вот и нет,это можно было бы посчитать,только для тангенса.
Обратите внимание - все размеры на чертеже относятся к задаче с другими числовыми данными! Правильная только схема решения и общий вид. Поэтому внимательно разберитесь в построениях и решении.
Ясно, что АЕ = 3, ЕА1 = 2. Линия пересечения АВС и ВЕD1 строится так. Продлевается АD за точку А до пересечения М с продолжением D1E. Через точку М и точку В в плоскости АВСD проводится прямая до пересечения с продолжением DC, это точка F. F и D1 соединяются в плоскости DCC1D1. Точка пересечения D1F c С1С - точка К соединяется с В. Четырехугольник ВЕD1K - сечение, прямая МF - линия пересечения АВС и ВЕD1.
Тр-ки А1ЕD1 и МЕА подобны, откуда МА = 3. Треугольники ВСF и МАВ подобны, поэтому FC = 4/3 (размеры на чертеже, в том числе и вычисляемые - к другому условию!). Получился треугольник DMF со сторонами MD = 5, DF = 10/3;
Очевидно, что если из вершины прямого угла этого треугольника провести перпендикуляр на MF и соединить его основание с D1, то получится искомый линейный угол двугранного угла (обозначим Ф). Поэтому нам надо определить в треугольнике DMF высоту к гипотенузе MF (обозначим h), тогда тангенс угла Ф будет равен DD1 = 5, деленному на эту высоту.
MFD - прямоугольный треугольник с катетами 5 и 10/3,
гипотенуза равна с = 5*корень(13)/3;
высота h = 5*(10/3)/с;
tg(Ф) = 5/h = 3*c/10 = корень(13)/2;