Меньшая окружность проходит через 3 вершины, одна из который - острый угол, а две - вершины тупых углов. Острый угол является вписанным в эту окружность. И, наоборот, большая окружность проходит через вершину острого угола, потом- тупого, и - опять острого. В большую окружность вписан тупой угол.
r = 3; R = 4; a = ?
Обозначим за Ф половину тупого угла ромба. В треугольнике, вписанном в малую окружность, это будет острый угол, противолежащий стороне а;
Тогда по теореме синусов
a = 2*r*sin(Ф); sin(Ф) = a/(2*r);
Для тупоугольного равнобедренного треугольника, вписанного в большую окружность, угол при основании (противолежащий стороне а) равен (180 - 2*Ф)/2 = 90 - Ф;
Поэтому по той же теореме синусов
a = 2*R*sin(90 - Ф) = 2*R*cos(Ф); cos(Ф) = a/(2*R);
Осталось возвести это в квадрат и сложить
1 = a^2/(2*r)^2 + a^2/(2*R)^2; (2/a)^2 = 1/r^2 + 1/R^2;
Подставляем r = 3; R = 4; получаем а = 24/5
а) У равнобедренного треугольника углы при основании равны; Пусть угол при основании - х, тогда
х+х+30=180(сумма всех углов треугольника = 180°)
2х+30=180
2х=150
х=75
ответ: угол при основании равен 75°
б) 2 варианта решения:
1) Если угол при вершине, противолежащий основанию = 40°, тогда угол при основании - х
2х+40=180
2х=140
х=70;
ответ: остальные углы равны 70°
2) Если угол при основании = 40°, тогда второй угол при основании также равен 40°. Пусть угол противолежащий основанию - х, тогда
40+40+х=180
80+х=180
х=180-80
х=100; ответ: угол, противолежащий основанию равен 100°
в) Угол при основании равен 30°, тогда второй угол при основании также равен 30°(т.к. треугольник равнобедренный)
пусть угол, противолежащий основанию - х, тогда
30+30+х=180
60+х=180
х=180-60
х=120
ответ: угол, противолежащий основанию равен 120°