Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
Обозначим стороны прямоугольного треугольника как катеты а =4корень(3), b и гипотенуза с
Пусть меньший острый угол равен х, тогда второй острый угол равен 2х
Запишем уравнение и найдем углы
х+2х+90 =180
3х=90
х=30 градусов
Второй острый угол равен 2х=2*30=60 градусов
Найдем второй меньший катет(он лежит напротив меньшего острого угла)
b=a*tg30 = 4корень(3)*(1/корень(3))=4
Гипотенузу с определим по теореме Пифагора
с=корень(а2+b^2)=корень((4корень(3))^2+4^2)=8
Радиус вписаной окружности определим по формуле
R=(a+b-c)/2=(4корень(3)+4-8)/2=2корень(2)-2 =2(корень(2)-1)=0,828
в прямокутному трикутнику гострі кути відносяться як 1:2. Більший катет дорівнює 4 √ 3. Знайти радіус вписаного кола.
Позначимо сторони прямокутного трикутника як катети а = 4корень (3), b і гіпотенуза с.
Нехай менший гострий кут дорівнює х, тоді другий гострий кут дорівнює 2х
Запишемо рівняння і знайдемо кути
х +2 х +90 = 180
3х = 90
х = 30 градусів
Другий гострий кут дорівнює
2х = 2 * 30 = 60 градусів
Знайдемо другий менший катет (він лежить навпроти меншого гострого кута) b = a * tg30 = 4корень (3) * (1/корень (3)) = 4
Гіпотенузу c визначимо по теоремі Піфагора
c = корінь (А2 + b ^ 2) = корінь ((4корень (3)) ^ 2 +4 ^ 2) = 8
Радіус вписаного кола визначимо за формулою
R = (a + bc) / 2 = (4корень (3) +4-8) / 2 = 2корень (2) -2 = 2 (корінь (2) -1) = 0,828