20°
Объяснение:
Дано (см. рисунок):
ΔАВС - равнобедренный
AD - биссектриса угла А
BD - биссектриса угла В
∠ADB = 100°
Найти: ∠С
Решение.
Так как треугольник ABC равнобедренный, то у него углы при основании равны ∠А=∠В. Биссектриса делит угол пополам, поэтому α=∠А/2 и β=∠В/2. Но ∠А=∠В и поэтому α=β. Значит, треугольник ADB также равнобедренный.
Найдём углы α и β. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°: α + β + 100° = 180°. В силу этого α = β = (180-100)/2 = 40°.
Тогда ∠CАВ=∠СВА=2·α=2·40°=80°. Опять используем свойство:
Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
В силу этого ∠CАВ+∠СВА+∠С=180°. Отсюда
∠C=180°-(∠CАВ+∠СВА)=180°-(80°+80°)=180°-160°=20°.
ответ: 20°
Площадь треугольника можно найти по формуле S=a•h:2 , где а- основание, h- высота, проведенная к нему.
Если у треугольников равны основания и высоты, то их площади равны.
В треугольниках АВК и СВК основания АК=КС, высота из В – общая. Площади этих треугольников равны половине 0,5•SABC.
Следовательно, S ∆ ВСК=0,5 S ∆ АВС.
Рассмотрим ∆ КВС. Точка О делит ВК отношении ВО:ОК=2:1.
Это свойство точки пересечения медианы в задачах встречается нередко.
Высота для ∆ ВОС и КОС общая, поэтому площадь ∆ ВОС равна 2/3 площади ∆ КВС.
А т.к. S ∆ КВС=0,5 S ABC, то S ∆ ВОС=1/3 площади ∆ АВС.⇒
S ∆ АВС=3•S ∆ BOC=18 см²
В дополнение к заданным в задаче обозначениям я ввожу еще такие.
BF пересекает А в точке К. АМ = p; BN = t; NC = q; CK = x; KA = y; CF = e; FN = u; MF = f;
Ну, и АВ = с, ВС = а;
Из теорем Чевы и Ван-Обеля сразу следует
m*q*y/(p*t*x) = 1;
x/y + q/t = e/f;
y/x + p/m = n/u;
Из первого и второго равенств следует q/t = (x/y)*(p/m); и
(x/y)*(1 + p/m) = e/f;
аналогично из первого и третьего равенств p/m = (y/x)*(q/t); и
(y/x)*(1 + q/t) = n/u;
Если перемножить левые и правый части, получается
(1 + p/m)*(1 + q/t) = (e*n)/(f*u); или (c/m)*(a/t) = (e*n)/(f*u);
Пока что нигде не использовалось условие равенства углов. Это условие означает, что точки A M N C лежат на одной окружности. Отсюда сразу следует, что n*u = e*f; (произведения отрезков хорд) и m*c = t*a; (произведения отрезков секущих из точки В). Подставляя e = n*u/f; и с = a*t/m; я получаю
a^2/m^2 = n^2/f^2; или a/m = n/f;
f = n*a/m;
Между прочим, угол между f и n (угол MFA) НЕ равен углу ABC. То есть получить это равенство из подобия не получится :)