Question

Дан треугольник авс, площадь которого равна 1. на медианах ак, вl, сn треугольника авс взяты соответственно точки р, q, r так, что ар/рк=1; вq/ql=1/2; cr/rn=5/4. найти spqr

Answer 1

Для начало, здесь нужно просто знать свойства медиан в треугольнике , особенно те ,в которых проведены все три медианы.
1.Допустим то что медианы треугольника пересекаются в одной точке,и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины
2.То что при пересечений всех трех медиан треугольник разбивается на шесть равновеликих треугольника

РЕШЕНИЕ:
С начало все распишу что дано 
АР/РК=1; ВQ/QL=1/2; CR/RN=5/4; S(ABC)=1 ;  S(PQR)=?

Обозначим: 
AP=z;  PK=z ; => AK=2z
BQ=x;  QL=2x; => BL=3x
CR=5y; RN=4y; => CN=9y

Теперь как я сказал медианы делятся в отношений 1:2 считая от вершины , тогда:
BO=2BL/3;
AO=2AK/3;
CO=2CN/3;

Нам нужно просто найти какую часть составляет треугольник  S(PQR)/S(ABC)=?
По рисунку еще видно что треугольники, под одним углом.
Из всех соотношений, можно найти 
OQ=BO-BQ=2BL/3-BL/3 = BL/3
OP=AO-AP=2AK/3-AK/2 =AK/6
OR=CO-CR=2CN/3-5CN/9=CN/9 

по определению площадь треугольника равна S=(a*b*sina)/2.
так как площади треугольник  S(AOB)=S(BOC) 
то площадь треугольник S(AOB)/S(ABC)=1/3
тогда найдем  площадь треугольника 
S(POQ)/S(AOB)=((AK/6)*(BL)/3*sina) /((2BL/3)*(2AK/3)*sina)= 1/8
значит оно составляет от площади S(AOB)=1/8*1/3=1/24  часть
так же другие S(QOR)=1/36  ; S(POR)=1/72 
значит S(PQR)=1/36+1/72+1/24=1/12