Геометрия алгебре Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать. Пословица. Анри Пуанкаре сказал, что математика — это искусство называть разные вещи одина- ковыми именами. Осмелимся добавить: а одинаковые вещи — разными именами. То есть один и тот же объект можно описывать на разных языках, видеть разными глазами. При этом непонятное ранее утверждение может стать очевидным, а к сложной задаче может отыскаться лёгкое решение. На школьном уровне эта идея обычно реализуется как перевод на язык алгебры арифме- тических задач (текстовые задачи решают с уравнений) и геометрических задач (координатный и векторный методы). Такой перевод позволяет алгоритмизировать реше- ние задач. Заметим, что алгоритмизация не всегда полезна: не нужно ничего изобретать, решение идёт по накатанной схеме. “Решать с уравнений задачу, допускающую простое арифметическое решение, безнравственно.” [1, с. 46] Менее известны другие случаи, когда арифметические и алгебраические задачи удобно решать на геометрическом языке. Таким примерам и посвящена эта статья. Доказать значит сделать очевидным Ключевые факты полезно формулировать на разных языках, чтобы каждый ученик усваивал их на свойственном ему языке. Для многих вовремя показанная картинка может раз и навсегда навести ясность и от типичных ошибок. 1. Переместительный закон сложения для положительных чисел можно пояснять так: поезд проехал a км от Москвы до Твери и b км от Твери до Петербурга. На обратном пути он проехал те же расстояния в обратном порядке, и общий путь был тот же самый. Значит, a + b = b + a. Переместительный закон сложения для целых чисел хорошо пояснять с дви- жения лифта. Например, (+3) + (−5) означает, что лифт поехал сначала на 3 этажа вверх, а потом на 5 вниз. А (−5) + (+3) означает, что лифт сначала поехал на 5 этажей вниз, а потом на 3 вверх. Ясно, что в итоге он переместился на одно и то же число этажей в одну и ту же сторону3. Тот же Пуанкаре говорил, что научиться складывать дроби можно двумя разрезая яблоки и . . . разрезая пироги. В статье и на доске проще резать прямоугольники (“шоколадки”), но суть будет та жеСпросите пятиклассника, чему равен квадрат суммы — и он наверняка ответит “сумме квадратов”. Переубедить его проще всего с картинки 6: считаем площадь боль- шого квадрата двумя Говорят, когда Руссо учился в школе, его убедило только такое доказательство. Можно придумать картинки для доказательства разложения квад- рата суммы трёх слагаемых, для разности квадратов и даже для куба суммы [2]. Правда, последнее является скорее тренировкой пространственного воображения, но это тоже по- лезно. 5. Формула для производной произведения двух функций, как и формула суммы квад- ратов, не принадлежит к числу интуитивно ясных: хочется по аналогии с производнойсуммы сказать “равна произведению производных”. В эту ловушку попался сначала да- же. . . Лейбниц, один из создателей дифференциального исчисления.
Эта задача на много проще, чем кажется. Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a, то стороны исходного треугольника будут такие (a + r, b + r, 35) стороны меньшего треугольника (a, r, 15) стороны большего (r, b, 20) и все эти три треугольника подобны между собой. отсюда a/r = 15/20 = 3/4; то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5) То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4. То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20) Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294; длина полуокружности πr = 12π;
Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.
