В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.
Объяснение:
АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D, АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.
Т.к. DВ-биссектриса ∠D, то ∠АDВ=30°,
ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный : tg60°=ВD/ВА или √3=ВD/4 или ВD=4√3 см
cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD , АD=8 см.
АD║ВС,АD-секущая ⇒ ∠АDВ=∠DВС=30° как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.
ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.
1. Площадь полной поверхности ПИРАМИДЫ равна сумме площадей основания и четырех площадей боковых граней. Площадь боковой грани (равнобедренного треугольника) равна Sг=(1/2)*Высота грани*основание (сторона квадата). Высота грани по Пифагору: √[7²-(5/2)²]=√42,75 = 1,5√19см. Sг=(1/2)*5*1,5√19=3,75√19см². S=25+3,75√19см². ответ: S=25+3,75√19см². 2. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме четырех площадей боковых граней. Боковая грань - равнобедренная трапеция, так как пирамида правильная. Высота этой трапеции делит большое основание на отрезки, меньшее из которых равно полуразности оснований. Эта полуразность равна (10-6):2=2см.Тогда высота h=2см, так как угол между боковой стороной трапеции и большим основанием равен 45°. Тогда площадь боковой грани (равнобокой трапеции) равна Sг=(6+10)*2/2=16см². Площадь боковой поверхности равна S=4*16=64см². 3. Половины диагоналей оснований (квадратов) равны: АО=5√2, А1О1=4√2. Тогда АН=АО-А1О1 = √2. (Н - основание высоты пирамиды). Боковое ребро пирамиды равно АА1=√(2+3)=√5. Тогда в боковой грани (равнобедренной трапеции) высота равна: А1Н1=√(АА1²-(AD-A1D1)²/4)=4см. Площадь грани: Sг=(AD+A1D1)*A1H1/2 = 36см². Sб=4*36=144см². 4. Диагонали оснований (квадратов) равны 4√2 и 10√2. Высота пирамиды из площади диагонального сечения (равнобокой трапеции): 28√2=14√2*Н/2=4см. Боковое ребро пирамиды равно АА1=√(18+16)=√34. Тогда в боковой грани (равнобедренной трапеции) высота равна: А1Н1=√(АА1²-(AD-A1D1)²/4)=√(34-9)= 5см. Площадь грани: Sг=(AD+A1D1)*A1H1/2 = 7*5 = 35см². Sб=4*35=140см².
Задача
В основе прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60 и боковой стороной 4 см. Диагонали трапеции являются биссектрисами острых углов. Диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом 45. Найти объем призмы.
Объяснение:
АВСD-трапеция,∠А=∠D=60°, АС-биссектриса ∠А, DВ-биссектриса ∠D, АВ=СD=4 см, ∠ВDВ₁=45°.
Т.к. DВ-биссектриса ∠D, то ∠АDВ=30°,
ΔАВD, ∠А=60° , ∠АDВ=30° ⇒ ∠АВD=90°. Поэтому ΔАВD-прямоугольный : tg60°=ВD/ВА или √3=ВD/4 или ВD=4√3 см
cos60°=ВА/АD или 0,5=4/АD , АD=8 см.
АD║ВС,АD-секущая ⇒ ∠АDВ=∠DВС=30° как накрест лежащие.Поэтому ΔDВС- равнобедренный и СВ=СD=4 см.
ΔВDВ₁-прямоугольный и равнобедренный( ∠ВDВ₁=45° ⇒∠ВВ₁D=45°), поэтому ВВ₁=ВD=4√3 см.
V=P(осн)*h.
V=(4+4+4+8)*4√3 =80√3 ( см³)