AB=10 см. ND1/NB=2/3 (по условию). BD1 = корень из(BD^2 + DD1^2) ABCD - квадрат, а DB его диагональ => BD = 10корней из 2. BD1 = корень из (200 +100) = 10корней из 3. ND1/NB=2/3 =>
ND1 = 2NB/3 => 2NB/3 +NB = 10корней из 3, отсюда NB = 6корней из 3 => ND1 = 10корней из 3 - 6корней из 3 = 4корней из 3. Теперь проведем перпендикуляр к основанию ABCD - NM. M принадлежит стороне прямоугольника треугольника BDD1 BD => треугольник DNM подобен треугольнику BDD1 => BN/NM = BD1/DD1 => 6корней из 3/NM = 10корней из 3 / 10 =>NM =6 корней из 3 / корень из 3 = 6. Расстояние от точки N до плоскости ABCD = 6 см.
Обозначим угол BAD = угол ADC = Ф; (я не стану растекаться на "доказательства" очевидных вещей, вроде равества этих углов, однако для себя вы должны понимать, как это делать). Пусть К - точка касания стороны АВ, P - BC, Q - CD, O - центр. Проводим ВМ и СL перпендикулярно AD (М и L лежат на AD), и BN II AD, N лежит на CL.
Пусть ОА = OD = a; AB = b; CD = c;
ML = BN = 2*a - (b + c)*cos(Ф);
CN = (c - b)*sin(Ф);
Из треугольника АКО АК = a*cos(Ф); само собой это равно QD;
BP = BK; CP = CQ; отсюда
ВС = (c + b) - 2*a*cos(Ф);
Теорема Пифагора для треугольника BCN
(2*a - (b + c)*cos(Ф))^2 + ((c - b)*sin(Ф))^2 = ((c + b) - 2*a*cos(Ф))^2;
4*a^2 - 2*a*(b + c)*cos(Ф) + ((c + b)*cos(Ф))^2 + ((c - b)*sin(Ф))^2 =
= (b + c)^2 - 2*a*(b + c)*cos(Ф) + 4*a^2*(sin(Ф))^2;
4*a^2*(sin(Ф))^2 - (c + b)^2*(sin(Ф))^2 + (c - b)^2(sin(Ф))^2 = 0;
4*a^2* - (c + b)^2 + (c - b)^2 = 0;
a^2 = cb;
Поэтому 35 = с*5; с = 7;