а). Точка, симметричная данной относительно оси 0Х, лежит на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно оси 0Х, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до оси 0Х. То есть это точка В(-1,5;-2).
б). Точка, симметричная данной относительно оси 0Y, лежит на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно оси 0Y, перпендикулярно оси 0Y, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до оси 0Y. То есть это точка С(1,5;2).
в). Точка, симметричная данной относительно начала координат, лежит на прямой, проходящей через данную точку и начало координат, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до начала координат.
Сначала построим линию пересечения плоскости основания и плоскости А1С1Е. Это прямая а, параллельная отрезкам АС и А1С1 (смотри рисунок). Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза). Высота призмы равна √(5²-4²)=3. Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8. Тогда КЕ=6. Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2. ответ: искомый угол равен arctg(0,5). Вариант2 (координатный). Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С. Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3. Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}. Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)] cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5. ответ: искомый угол равен arccos(2/√5). Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5. Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2. ответ: искомый угол равен arctg(0,5). Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего). Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С. Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3), C1(0;3;0), E(6;0;2√3). Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0. Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0. Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0. Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу: |x-0 0-0 6-0 | | x-0 0 6 | |y-3 3-3 0-3 | = 0. Или | y-3 0 -3 | = 0. |z-4√3 0-4√3 2√3-4√3 | | z-4√3 -4√3 -2√3 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: | 0 -3 | | 0 6 | | 0 6 | (x-0)* |-4√3 -2√3| - (y-3)* |-4√3 -2√3 | + (z-4√3)*| 0 -3 | =0.
Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0. Это и есть уравнение плоскости А1С1Е. Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости. Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}. Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей. cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)] или cosα=-2/√5. Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем cosα=2/√5 (так как cos(180-α)=-cosα). ответ, как и во втором варианте: искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).
а). Точка, симметричная данной относительно оси 0Х, лежит на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно оси 0Х, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до оси 0Х. То есть это точка В(-1,5;-2).
б). Точка, симметричная данной относительно оси 0Y, лежит на прямой, проходящей через эту точку перпендикулярно оси 0Y, перпендикулярно оси 0Y, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до оси 0Y. То есть это точка С(1,5;2).
в). Точка, симметричная данной относительно начала координат, лежит на прямой, проходящей через данную точку и начало координат, на расстоянии, равном расстоянию от данной точки до начала координат.
То есть это точка D(1,5;-2).