Question

Решите 6 задач, 1) Точка A лежит на окружности ω радиуса 1. Чему равна степень точки A относительно ω?

2) На плоскости расположены точка A и окружность ω радиуса R с центром в точке O. Чему равна степень точки A относительно ω, если R=3, OA=1?

3) На плоскости расположены точка A и окружность ω радиуса R с центром в точке O. Чему равна степень точки A относительно ω, если R=4, OA=6?

4) Точка P удалена от центра окружности, радиус которой равен 11, на расстояние, равное 7. Через точку P проведена хорда, длина которой равна 18. Найдите отношение отрезков, на которые хорда делится точкой P. В качестве ответа введите отношение большего отрезка к меньшему.

5) Прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются в точке O. На прямой ℓ1 выбраны точки A, O, B, C, а на ℓ2 — точки D, O, E, F, G (точки идут в указанном порядке). Известны длины отрезков:

AO=10, OB=2, BC=6, DO=5, OE=4, EF=6, FG=6.

Выберите все четвёрки точек, которые лежат на одной окружности.
ADCE
ADBF
ADBE
BCEG
ADCG
ADCF
BCEF
6) Прямые ℓ1 и ℓ2 пересекаются в точке O. На прямой ℓ1 выбраны точки A, O, B, C, а на ℓ2 — точки D, O, E, F, G (точки идут в указанном порядке). Известны длины отрезков
AO=10, OB=2, BC=6, DO=5, OE=4, EF=6, FG=6.
Выберите все верные утверждения
Описанная окружность треугольника BCE касается прямой ℓ2
Описанная окружность треугольника CEF касается прямой ℓ1
Описанная окружность треугольника BCF касается прямой ℓ2
Описанная окружность треугольника CEG касается прямой ℓ1
7) Из точки A,‍ лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16, а расстояние от точки A до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от её центра до секущей равно 5.
8) Точка M — середина стороны BC треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки A и M, касается стороны BC и пересекает стороны AB и AC в точках X и Y соответственно. Известно, что AX=9, BX=3, CY=2. Чему равна длина отрезка AY?
9) В параллелограмме ABCD сторона AD равна 8. Окружность, касающаяся сторон AB и BC, проходит через точку D и пересекает стороны AD и CD в точках P и Q соответственно. Известно, что AP:PD=4:5 и CQ:QD=1:8. Найдите длину стороны AB.
10) Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках A и D, а меньшую окружность — в точках B и C. Найдите отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности, если AB:BC:CD=3:7:2.
11) В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB=3 и BC=4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности.