Question

1. Даны точки А(2;1), М(3 ;-1), К(-2;4), Р(0;5). Найдите расстояние

между точками А и М, Р и К, М и К.

2. Дан треугольник АВС,

точки А(5;-2 ),В(-1;4 ), С(3;-2),

точка М- середина АВ, точка К-

середина АС, Найдите:

а) координаты точек М и К;

б) длину медианы МС и КВ,

г) длины сторон треугольника АВС​

Answer 1

1. Расстояние между точками А и М:
Для расчета расстояния между двумя точками А(x1, y1) и М(x2, y2) можно использовать формулу дистанции (расстояния) между двумя точками в координатной плоскости:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

В данном случае, координаты точки А(x1, y1) = (2, 1) и координаты точки М(x2, y2) = (3, -1). Подставляя значения в формулу, получим:

d(АМ) = √((3 - 2)^2 + (-1 - 1)^2)
= √(1 + 4)
= √5

Таким образом, расстояние между точками А и М равно √5.

Расстояние между точками Р и К:
Координаты точки Р(x1, y1) = (0, 5) и координаты точки К(x2, y2) = (-2, 4). Подставляя значения в формулу, получим:

d(РК) = √((-2 - 0)^2 + (4 - 5)^2)
= √(4 + 1)
= √5

Таким образом, расстояние между точками Р и К также равно √5.

Расстояние между точками М и К:
Координаты точки М(x1, y1) = (3, -1) и координаты точки К(x2, y2) = (-2, 4). Подставляем значения в формулу:

d(МК) = √((-2 - 3)^2 + (4 - (-1))^2)
= √((-5)^2 + (5)^2)
= √(25 + 25)
= √50
= √(25*2)
= 5√2

Таким образом, расстояние между точками М и К равно 5√2.

2. Координаты точек М и К:
Для нахождения координат точек М и К, необходимо найти средние значения координат вершин соответствующих сторон треугольника.

Координаты точки М(x, y) находятся как средние значения координат точек А(x1, y1) и В(x2, y2):

x = (x1 + x2) / 2
y = (y1 + y2) / 2

Исходя из заданных координат:

x(М) = (5 + (-1)) / 2 = 4 / 2 = 2
y(М) = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты точки М равны (2, 1).

Аналогично для точки К(x, y) соединяющей точки А и С:

x(К) = (x1 + x3) / 2
y(К) = (y1 + y3) / 2

x(К) = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
y(К) = (-2 + -2) / 2 = -4 / 2 = -2

Таким образом, координаты точки К равны (4, -2).

Длина медианы МС:
Для нахождения длины медианы можно использовать формулу длины отрезка между двумя точками:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Координаты точки М(x1, y1) = (2, 1) и координаты точки С(x2, y2) = (3, -2). Подставляя значения в формулу:

d(МС) = √((3 - 2)^2 + (-2 - 1)^2)
= √(1 + 9)
= √10

Таким образом, длина медианы МС равна √10.

Длина медианы КВ:
Координаты точки К(x1, y1) = (4, -2) и координаты точки В(x2, y2) = (-1, 4). Подставляем значения в формулу:

d(КВ) = √((-1 - 4)^2 + (4 - (-2))^2)
= √((-5)^2 + (6)^2)
= √(25 + 36)
= √61

Таким образом, длина медианы КВ равна √61.

Длины сторон треугольника АВС:
Для нахождения длины сторон треугольника можно использовать формулу длины отрезка между двумя точками, известная вам из предыдущих пунктов.

Сторона АВ:
Координаты точки А(x1, y1) = (5, -2) и координаты точки В(x2, y2) = (-1, 4). Подставляем значения в формулу:

d(АВ) = √((-1 - 5)^2 + (4 - (-2))^2)
= √((-6)^2 + (6)^2)
= √(36 + 36)
= √72
= √(36*2)
= 6√2

Сторона ВС:
Координаты точки В(x1, y1) = (-1, 4) и координаты точки С(x2, y2) = (3, -2). Подставляем значения в формулу:

d(ВС) = √((3 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2)
= √((4)^2 + (-6)^2)
= √(16 + 36)
= √52
= √(4*13)
= 2√13

Сторона СА:
Координаты точки С(x1, y1) = (3, -2) и координаты точки А(x2, y2) = (5, -2). Подставляем значения в формулу:

d(СА) = √((5 - 3)^2 + (-2 - (-2))^2)
= √((2)^2 + (0)^2)
= √(4 + 0)
= √4
= 2

Таким образом, длины сторон треугольника АВС следующие:
Сторона АВ = 6√2
Сторона ВС = 2√13
Сторона СА = 2