Question

Точка касания вписанного прямоугольного треугольника окружность делит гипотенузу на отрезки 8 и 12 см. найти площадь

Answer 1

У вписанной в треугольник окружности центром является точка пересечения биссектрис: АО и ОВ -биссектрисы,  Радиусы проведенные в точку касания перпендикулярны сторонам треугольника. По условию АР =8 см, РВ=12 см.
Из равенства треугольников АКО и АРО следует АК=АР=8 см, Из равенства треугольников BNO и BPO следует BN=BP=12 см.
CKON - квадрат, CK=CN=r,  АС=8+r,  CB=12+r
По т. Пифагора $AC ^{2} + CB^{2} = AB^{2}$
Получаем $(8+r)^{2} +( 12+r)^{2} =20 ^{2}$
$2r^{2} +40r+208=400$
$r^{2} +20r-96=0, D=196$ с четным коэффициентом
Т к $r \geq 0, r=-24$ посторонний корень
$r=4$
AC=12 см,  CB=16 см,  S=$S=12*16=192$ кв см