Обозначим пирамиду АВСДК, К -вершина. Проведём диагонали основания ВС и ВД. В правильной четырёхугольной пирамиде основание квадрат. Точка пересечения диагоналей -центр квадрата О.Из вершины К опустим высоту к оснванию КО=Н. Обозначим сторону квадрата основания А. Тогда диагональ ВД=А корней из 2. Поскольку сечение по условию -равносторонний треугольник, то ВД=КВ=КД. Обозначим их Х. Тогда КО=Н=корень из((Х квадрат-(Х/2)квадрат)=Х*(корень из 3)/2. Подставляем сюда значение ВД, получим Н=А*(корень из 2)*(корень из 3)/2= А*(корень из 6)/2. Площадь основания равна S=1/2*ВД*Н=1/2*А*(корень из 2 )*А*(корень из 6 )/2. По условию эта площадь равна 6 корней из 3. Приравнивая получим А квадрат=12. Подставляем в ранее найденное выражение, получим Н=3 корня из 2. Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен V=1/3*H*( A квадрат)=1/3*(3 корня из 2)*12=12 корней из 2.
При периметре 45 см сторона правильного треугольника 45:3=15 см
Формула радиуса описанной окружности около правильного треугольника
R=a/√3 => R=15/√3=5√3
Соединив вершину В вписанного восьмиугольника с концами диаметра АЕ описанной окружности, получим ∆ АВЕ.
Угол АОВ=360°:8=45°
Вписанный угол ВЕА=22,5°
По т.синусов АЕ=2R=АВ:sin22,5° =>
АВ=2R•sin22,5=10√3•0,38268=6,628 см
———————
Сторону вписанного n- угольника можно найти из Формулы радиуса описанной окружности правильного многоугольника