В прямоугольной трапеции АВСД АД||ВС, значит <ДАВ=<АВС=90°. Расстояние от Е до СД - это перпендикуляр ЕК к СД. Из вершины С опустим высоту СН на АД: АВ=СН, ВС=АН=12 АД=АН+НД НД=АД-АН=14-12=2. Продолжим стороны АВ и СД до пересечения в точке М. Прямоугольные ΔМВС и ΔСНД подобны по острому углу (<ВСМ=<НДС как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей МД) ВС/НД=МС/СД 12/2=МС/СД МС=6СД МД=МС+СД=6СД+СД=7СД Получается, что МЕ - касательная и МД - секущая, проведённые к окружности из одной точки. Значит МЕ²=МД*МС=7СД*6СД=42СД² МЕ=СД√42 Прямоугольные ΔМКЕ и ΔСНД подобны по острому углу (<ЕМК=<ДСН как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АМ и СН секущей МД) МЕ/СД=ЕК/НД СД√42/СД=ЕК/2 ЕК=2√42
В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=8, BC=4.
Есть 4 варианта расположения трапеции и окружности при данных ВС и АD. (Представлены на рисунках). Для всех четырех решение и результат одинаковы: Искомое расстояние - это перпендикуляр EF к прямой CD. По условию ВС - средняя линия треугольника ADS. DC=SC, AB=BS. SD=2DC. Тогда по свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC = 2DC² или SE = CD√2. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия треугольников имеем: EF/DH = SE/CD => EF = DH*SE/CD. EF=4CD√2/CD = 4√2. Или так: EF=SE*Sin(<ESF) =SE*Sin(<DCH). <ESF=<DCH =α (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Sinα Sinα=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Или так: EF=SE*Cos(<SEF) =SE*Cos(<FDA). <SEF=<FDA =β (соответственные углы в подобных треугольниках) α= SE*Cosβ Cosβ=HD/DC. EF = SE*HD/CD. Все эти варианты, в принципе, одно и то же. ответ: EF= 4√2.
Так как решение при любых вариантах расположения окружности и трапеции одинаково, можно привести решение подобных задач в общем виде для разных значений ВС и AD. Решение. Пусть ВС= а, AD=b. AD>BC. Прямоугольные треугольники HDC и FES подобны по острому углу <S=<C (так как НС параллельна AS). Из подобия имеем: EF/HD = SE/CD => EF = DH*SE/CD. Следовательно, чтобы найти EF, надо выразить DH, SЕ и CD через основания трапеции ВС и AD. DH=AD-BC = (b-a) (по условию). Прямоугольные треугольники ASD и BSC подобны по общему острому углу <S. Коэффициент подобия равен k=ВC/AD=a/b. Тогда SC=CD*a/(b-a). SD=SC+CD = CD*(a/(b-a)+CD = CD(a/(b-a) +1)= CD*b/(b-a). По свойству касательной и секущей из одной точки к окружности имеем: SE² = SD*SC. SE² = SD*SC=CD*b/(b-a))*CD*a/(b-a) = CD²*a*b/(b-a)². SE = CD*√(a*b)/(b-a). EF=(b-a)*CD*√(a*b)/((b-a)*CD) = √(a*b). ответ: расстояние от точки Е до прямой CD равно √(ВС*AD) для любых значений ВС и AD. ЕF=√(ВС*AD).
ответ: 16,5 см
2/3=11/х
х=3*11/2=16,5см