Ну, Вас не плохо готовят.
Пусть p = (a + b + c)/2; - ПОЛУпериметр, r - радиус вписанной окружности, r1 = 5, r2 = 20, r3 - радиусы вневписанных окружностей.
Аналогично формуле S = r*p очень легко доказать формулы
S = r1*(p - a) = r2*(p - b) = r3*(p - c);
{могу и показать, как это получается, только без рисунка :)
(достаточно доказать одно соотношение - остальные получаются заменой обозначений).
Пусть окружность с центром О касается стороны а, противолежащей углу А, и продолжений сторон b и с. Тогда площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников ABO и ACO минус площадь треугольника BCO, у всех этих треугольников высоты равны r1
Sabc = Sabo + Saco - Scbo = (c*r1)/2 + (b*r1)/2 - (a*r1)/2 = r1*(b + c - a)/2 = r1*(p - a)}
Отсюда S/(p-a) = r1; S/(p-b) = r2; S/(p-c) = r3;
Если это все перемножить, то
r1*r2*r3 = S^3/((p-a)*(p-b)*(p-c)) = S^3*p/(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) = S^3*p/S^2
(была использована формула Герона для площади треугольника)
r1*r2*r3 = S*p;
Теперь надо вспомнить, что треугольник прямоугольный (до этого прямоугольность нигде не использовалась).
В этом случае радиус r3 окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, просто равен p. Доказать это можно кучей к примеру, так
поскольку p - c = (a + b +c)/2 - c = (a + b - c)/2 = r, а r3*(p - c) = S, то r3*r = S, откуда r3 = p;
Итак, S = r1*r2 = 100 кв.см.
Я считал, что r1= 5 и r2 = 20 - радиусы вневписанных окружностей, касающихся катета и продолжений другого катета и гипотенузы. Если это не так, задача на много сложнее.
100 см
Объяснение:
1) Так как треугольник ABC - прямоугольный, и нам известны его катет и гипотенуза - найдем второй катет AB по т.Пифагора:
АВ² = АС² – ВС² = 3600 – 1296 = 2304.
АВ = 48 см
2) Из вершины С трапеции опустим высоту СН. Так как АВСН - прямоугольник, то его противоположные стороны равны. АН = ВС = 36 см, СН = АВ = 48 см.
По условию треугольник ACD прямоугольный, а высота, проведенная из вершины прямого угла делит основание AD на отрезки АН и DH.
По свойству высоты опущенной из вершины прямого угла СН² = АН * DН.
DН = СН² / АН = 48² / 36 = 2304 / 36 = 64 см.
Тогда АD = АН + DН = 36 + 64 = 100 см.
ответ: AD = 100 см.