Question

2. В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = с. Докажите, что если ${a}^{2} = bc + b {}^{2}$
то угол A=2углаB​

Answer 1

Применим теорему косинусов для двух углов:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2cos(A)bc\\b^2 = a^2+c^2 - 2cos(B)ac\\$

Из данной в условии формулы:

$a^2 = bc + b^2\\a^2-bc = b^2(*)\\a^2 - b^2 = bc (**)$

Подставим выражение $(*)$ в обе теоремы косинусов:

$\left \{ {{bc = c^2 - 2cos(A)bc} \atop {0=bc+c^2-2cos(B)ac}} \right. \\\left \{ {{b = c - 2cos(A)b} \atop {0=b+c-2cos(B)a}} \right.\\{cos(B) = \frac{b+c}{2a} } \\cos(A) = \frac{c-b}{2a} }$

Так как нам известно, каким именно образом должны относиться друг к другу углы (А в 2 раза больше),  применим формулу косинуса двойного угла для проверки.

$cos(2x) = 2cos^2(x)-1\\2(\frac{b+c}{2a} )^2-1=\\=\frac{(b+c)^2}{2a^2}-1=\\=\frac{b^2 + 2bc +c^2 -2a^2}{2a^2}$

Подставим выражение $(**)$

$\frac{c^2-b^2}{2bc+2b^2}=\\=\frac{ (c-b)(c+b) }{2b(c+b)}=\\=\frac{c-b}{2b}$

А это и есть полученый ранее косинус. Значит наше предположение было верно. чтд

Answer 2

Решение для остроугольного треугольника ( для тупоугольного треугольника  решение будет аналогичным )

Объяснение: