Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной a=8 см и острым углом 60°, если большая диагональ призмы наклонена к плоскости ее основания под углом 30°.
Дано : ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая призма ( AA₁ ⊥ пл.ABCD )
Треугольник по условию тупоугольный равнобедренный. Высота опущенная из тупого 120-градусного угла является биссектрисой этого же угла (и медианой, но здесь это свойство не требуется), => наш треугольник разбивается на 2 прямоугольных с равными острыми углами при вершине начального тупоугольного треугольника в 60град. Мы можем найти другой угол - при основании р/б треугольника, он равен 30град. (180-90-60=30). Тогда гипотенуза одного из прямоугольных треугольников есть боковая сторона равнобедренного, т.е. эта сторона, которую нужно найти. Найдём: она равна длине 2 катетов (катет, лежащий против угла в 30град. равен половине гипотенузы), => 8*2=16. ответ: 16
Найдите площадь полной поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб со стороной a=8 см и острым углом 60°, если большая диагональ призмы наклонена к плоскости ее основания под углом 30°.
Дано : ABCDA₁B₁C₁D₁ прямая призма ( AA₁ ⊥ пл.ABCD )
AB=BC=CD=DA = a = 8 см ( ABCD - ромб)
∠BAD = 60°
∠B₁CA = 30 ° - - - - - - -
Sполн пов - ?
Sполн пов= 2Sосн + Sбок = 2*a*a*sin60° +4a*h || h =AA₁ ||
Sполн пов= a²√3 + 4a*h
Из ΔA₁AC : AA₁ =AC*tg(∠B₁CA) =AC*tg30° = AC/√3 =a√3 /√3 = a
Δ ABD - равносторонний (∠BAD = 60°) ⇒ AO =a√3 /2 ; AC=2AO =a√3
Sполн пов= a²√3 + 4a² =a²(4+√3) =8²(4+√3) см²= 64(4 +√3) см²
ответ: 64(4 +√3) см² || (256+64√3) см² ||
подробности см приложение