Через сторону АД ромба АВСД проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние, равное 3√ 3 см. Сторона ромба-12 см, угол ВСД=30º. Найдите угол между плоскость ромба и плоскостью альфа
ВС ║АД, ⇒ ВС║α
АД ∈ плоскости α, и расстояние от ВС до плоскости равно длине отрезка их общего перпендикуляра (свойство).
Угол между плоскость ромба и плоскостью α -двугранный угол, и его величина определяется градусной мерой линейного угла.
В данном случае это величина угла, который получится, если из точки Н к АД— линии пересечения плоскости ромба и плоскости альфа, —провести перпендикуляры в обеих плоскостях.
Пусть Н - основание высоты ромба, проведенной из В к АД, а НМ перпендикуляр к АД в плоскости альфа. (см. рисунок)
Искомый угол - угол МНВ.
В треугольнике АВД высота ВН как катет, противолежащий углу 30º, равна половине гипотенузы АВ.
ВН=АВ:2=12:2=6 см
В ∆ ВМН катет ВМ противолежит искомому углу ВНМ.
sin∠ВНМ=ВМ:ВН=(3√3):6=(√3):2 - это синус угла 60º
Угол между плоскость ромба и плоскостью альфа равен 60º.
Удивительно хитрое условие:)
Сечение АМВ - это равносторонний треугольник со стороной 8. Его площадь 16*корень(3).
Пояснения совсем не касаются стереометрии, а касаются удивительных свойств равнобедренного треугольника с углом при вершине 36 градусов. Оба угла при основании 72 градуса. Поэтому биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных, и отсюда получается, что биссектриса угла при основании равна основанию (кроме того, она равна и отрезку боковой стороны от вершины до пересечения с ней биссектрисы).
(Если все это трудно идет :), то в обозначениях задачи легко увидеть, что
угол SAC = угол SCA = (180 - 36)/2 = 72 градуса,
угол SAM = 72/2 = 36 градусов, и поэтому AM = SM (так понятно?) далее
угол АМС = угол SAM + угол ASM = 36 + 36 = 72 градуса = угол MCA, откуда АМ = АС.)
Именно отсюда я и получил, что АМ = АС =8; не сложно отсюда же обосновать, что ВМ - биссектриса угла SBM треугольника SBM, который в точности такой же как треугольник SAC. ПОэтому и BM =8.
Это все.
Именно такой треугольник используется для вычисления в радикалах тригонометрических функций углов, кратных 18 градусам.
