Задача: Высоты треугольника ABC пересекаются в точке O. Величина угла ∡BAC = 63°, величина угла ∡ABC = 72°. Определить угол ∡AOB.
Р-м Δ ABE:
∡AEB = 90°, ∡ABE = 72° (∡ABE ∈ ∡ABC).
Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡BAE будет равна:
∡BAE = 180−(∡AEB+∡ABE)=180−(90+72) = 180−162 = 18°.
Р-м Δ ABD:
∡ADB = 90°, ∡BAD = 63° (∡BAD ∈ ∡BAC)
Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера ∡ABD будет равна:
∡ABD = 180−(∡ADB+∡BAD) = 180−(90+63) =180−153 = 27°.
По аналогии, угол ∡AOB в Δ ABO равен:
∡AOB = 180−(∡BAO+ABO) = 180−(18+27) = 180−45 = 135°
ответ: ∡AOB = 135°.
Задача: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к стороне BC проведена высота AM и биссектриса AN. Найти угол ∡MAN, если ∡B = 22°.
Р-м Δ ABC:
∡B = 22°, ∡A = ∡C = (180−22)/2 = 158/2 = 79°
Р-м Δ ACM:
∡AMC = 90°, ∡ACM = 79° ⇒ ∡CAM = 180−(90+79) = 180−169 = 11°.
∡BAN = ∡CAN = 79/2 = 39,5°, т.к. AN — биссектриса
Тогда ∡MAN = ∡CAN−∡CAM = 39,5−11 = 28,5°
ответ: ∡MAN = 28,5°.
Обозначим проекцию апофемы на основание за х.
Тогда проекция боковой стороны на основание будет 2х.
По Пифагору имеем - боковая сторона L равна:
L = √((2x)² + (√3)²) = √(4x² + 3).
Апофема А равна √(x² + (√3)²) = √(x² + 3).
Высота треугольника основания равна 3х.
Тогда сторона основания а = 3x/cos 30° = 3x/(√3/2) = 6x/√3 = 2√3x.
Но, так как сторона основания - это гипотенуза при двух катетах L, то можно выразить: a = √(2L²) = L√2 = √(4x² + 3)*√2 = √(8x² + 6).
Приравняем: √(8x² + 6) = 2√3x. Возведём в квадрат:
8x² + 6 = 12x или 4x² = 6 или 2x² = 3.
Отсюда находим х = √(3/2).
Теперь можно определить длину стороны основания, подставив значение х: а = 2√3*(√(3/2)) = 3√2.
Площадь основания So = a²√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 кв.ед.
ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3/2)*√3 = (9/2) куб.ед.