1) Пусть сторона квадрата равна a. Тогда a^2 = 25 см^2, а значит a = 5 см. Так как диагональ квадрата является ребром призмы, то ее высота h = a = 5 см. Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы равна P = 2ah = 50 см^2.
2) а) Так как боковое ребро образует с основанием угол 45°, то это означает, что боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником со сторонами 10, 10 и 10√2 см (по теореме Пифагора). Высота пирамиды h равна катету прямоугольного треугольника, противолежащему углу 45°, то есть h = 10 см.
б) Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна P = (1/2)pl, где p - периметр основания, l - длина бокового ребра. Так как основание пирамиды правильный четырехугольник, то его периметр равен 4a, где a - длина стороны основания. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 45°, то длина бокового ребра равна a/√2. Следовательно, p = 4a = 40 см, l = a/√2 = 5√2 см. Подставляя значения в формулу, получаем P = 50 см^2.
3) Пусть диагонали ромба равны d1 и d2. Тогда d1 = 16 см, d2 = 12 см. Так как большая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°, то это означает, что меньшая диагональ параллелепипеда равна d2/√2 = 6√2 см. Следовательно, длина стороны основания параллелепипеда равна a = d1/2 = 8 см. Высота параллелепипеда равна h = d2/2 = 6 см. Площадь полной поверхности параллелепипеда равна S = 2(ab + ac + bc) = 2(8*6 + 8*16 + 6*16) = 512 см^2.
для розв'язання цієї задачі нам потрібно використати формулу для площі трикутника: S = 1/2 * a * b * sin(C), де a та b - сторони трикутника, а C - кут між цими сторонами.
За теоремою бісектрис, ми знаємо, що CM / AB = DM / DB. Оскільки AB = AC + CB, то ми можемо записати:
CM / (AC + CB) = DM / DB
За теоремою Піфагора, ми знаємо, що AC^2 + BC^2 = AB^2. Звідси ми можемо вивести, що:
AC / AB = 9 / 16
BC / AB = 7 / 16
Тоді ми можемо записати:
CM / (9x + 7x) = DM / (16x - 7x)
CM / 16x = DM / 9x
DM = (9/16) * CM
Також ми можемо записати, що:
CD / CM = 4 / 5
CD = (4/5) * CM
DM = CM - CD
DM = CM - (4/5) * CM
DM = (1/5) * CM
Тепер ми можемо виразити сторони трикутника ADC через сторони трикутника ABC:
AD / AC = DM / CM
AD / 9x = (1/5) * CM / CM
AD / 9x = 1 / 5
AD = (9/5) * x
DC / BC = DM / CM
DC / 7x = (1/5) * CM / CM
DC / 7x = 1 / 5
DC = (7/5) * x
Тепер ми можемо знайти площу трикутника ADC:
S_ADC = 1/2 * AD * DC * sin(ADC)
За теоремою синусів, ми можемо записати:
sin(ADC) = sin(ABC) / (AD / AC)
sin(ABC) = sqrt(1 - cos^2(ABC)) = sqrt(1 - (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2 * BC * AC))
sin(ABC) = sqrt(1 - ((7/16)^2 + (9/16)^2 - 1) / (2 * (7/16) * (9/16)))
sin(ABC) = sqrt(1 - 25 / 784)
sin(ABC) = sqrt(759) / 28
Тоді ми можемо записати:
S_ADC = 1/2 * (9/5) * x * (7/5) * x * (sqrt(759) / 28) / ((9/16) * x)
S_ADC = 21/16 * sqrt(759) cm^2
Отже, площа трикутника ADC дорівнює 21/16 * sqrt(759) квадратних сантиметрів