Одна из граней прямоугольного параллелепипеда — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна корень из 3 и образует с плоскостью этой грани угол 60 градусов . Найдите объем параллелепипеда.
Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько шагов.
Шаг 1: Понимание задачи
Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед, где одна из граней является квадратом. Кроме того, известно, что диагональ параллелепипеда равна корню из 3 и образует с плоскостью этой грани угол 60 градусов. Нам нужно найти объем параллелепипеда.
Шаг 2: Используем геометрические свойства
Мы знаем, что диагональ хорошо себя ведет в прямоугольных фигурах. Поскольку одна из граней параллелепипеда — квадрат, диагональ будет равна √2 * c, где c - длина стороны квадрата. Мы также знаем, что диагональ образует с плоскостью грани угол 60 градусов, что означает, что c будет равна стороне деленной на √3 (так как tg 60° = √3). Таким образом, диагональ будет равна √2 * (c / √3) = √(2/3) * c.
Шаг 3: Найдем длину стороны квадрата
Теперь нам нужно найти длину стороны квадрата. Мы уже выразили ее через c, поэтому нам нужно знать значение c. Для этого воспользуемся данными о длине диагонали: √(2/3) * c = √3. Разделим обе части уравнения на √(2/3), чтобы избавиться от коэффициента: c = √3 / √(2/3). Мы знаем, что √a / √b = √(a/b), поэтому это равно c = √3 * √(3/2) = √(3*3/2) = √(9/2) = √9 / √2 = 3/√2 = 3√2/2.
Шаг 4: Найдем объем параллелепипеда
Теперь, когда у нас есть длина стороны квадрата (c), мы можем найти объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Поскольку одна из граней параллелепипеда — квадрат, длина, ширина и высота будут равны c. Таким образом, объем будет равен V = c * c * c = c^3 = (3√2/2)^3 = (3^3 * (√2/2)^3) = 27 * (2^3/2^3) * (√2/√2)^3 = 27 * 1 * (√2/√2)^3 = 27 * √2^3/2^3 = 27 * 2√2/8 = (27 * 2 / 8) * √2 = 54 / 8 * √2 = 6.75 * √2.
Итак, объем параллелепипеда равен 6,75 умножить на корень из 2.
Шаг 1: Понимание задачи
Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед, где одна из граней является квадратом. Кроме того, известно, что диагональ параллелепипеда равна корню из 3 и образует с плоскостью этой грани угол 60 градусов. Нам нужно найти объем параллелепипеда.
Шаг 2: Используем геометрические свойства
Мы знаем, что диагональ хорошо себя ведет в прямоугольных фигурах. Поскольку одна из граней параллелепипеда — квадрат, диагональ будет равна √2 * c, где c - длина стороны квадрата. Мы также знаем, что диагональ образует с плоскостью грани угол 60 градусов, что означает, что c будет равна стороне деленной на √3 (так как tg 60° = √3). Таким образом, диагональ будет равна √2 * (c / √3) = √(2/3) * c.
Шаг 3: Найдем длину стороны квадрата
Теперь нам нужно найти длину стороны квадрата. Мы уже выразили ее через c, поэтому нам нужно знать значение c. Для этого воспользуемся данными о длине диагонали: √(2/3) * c = √3. Разделим обе части уравнения на √(2/3), чтобы избавиться от коэффициента: c = √3 / √(2/3). Мы знаем, что √a / √b = √(a/b), поэтому это равно c = √3 * √(3/2) = √(3*3/2) = √(9/2) = √9 / √2 = 3/√2 = 3√2/2.
Шаг 4: Найдем объем параллелепипеда
Теперь, когда у нас есть длина стороны квадрата (c), мы можем найти объем параллелепипеда. Объем параллелепипеда равен произведению длины, ширины и высоты. Поскольку одна из граней параллелепипеда — квадрат, длина, ширина и высота будут равны c. Таким образом, объем будет равен V = c * c * c = c^3 = (3√2/2)^3 = (3^3 * (√2/2)^3) = 27 * (2^3/2^3) * (√2/√2)^3 = 27 * 1 * (√2/√2)^3 = 27 * √2^3/2^3 = 27 * 2√2/8 = (27 * 2 / 8) * √2 = 54 / 8 * √2 = 6.75 * √2.
Итак, объем параллелепипеда равен 6,75 умножить на корень из 2.