Через сторону правильного ника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30 градусов. найти синусы углов, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.
Угол ВМО - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью треугольника с данной плоскостью α. ВМ и МN перпендикулярны АС, значит плоскость ANC (плоскость α) перпендикулярна плоскости BMN. Углы между наклонными (две другие стороны треугольника) и плоскостью - это углы между этими наклонными и их проекциями на эту плоскость. Перпендикуляр ВО к плоскости α лежит в плоскости BMN (О на прямой MN). Надо найти синусы углов ВСО и ВАО. Прямоугольные треугольники ВАО и ВСО равны по гипотенузе и катету. Углы ВСО и ВАО равны. Из прямоугольного треугольника ВМО : , sinВСО = sin ВАО = ответ
Осевое сечение цилиндра, это сечение, проходящее через диаметр основания. Осевое сечение представляет из себя прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра, а другая диаметру окружности, лежащей в основании. Высота цилиндра известна, а значит осталось найти только диметр основания, который мы найдём по теореме Пифагора из треугольника, гипотенузой которого является диагональ. Представим диаметр как a, тогда: a^2=10^2-8^2=100-64=36 a=6 см Радиус основания равен 6/2=3 см Объем цилиндра равен V=π r2 h V=3.14*3^2*8=226,08 куб. см.
Уравнение медианы: М=(1/2)*√(2a²+2b²-c²). Тогда СN=(1/2)*√(2CS²+2CD²-SD²)=3√6. CN=BM=3√6. MP=NP=3√6 (так как MN - средняя линия треугольника ВРС). PQ -медиана. PQ=(1/2)*√(2MP²+2NP²-MN²)=(1/2)*√(4*54-9)=1,5√23. Тогда площадь треугольника MPN: Smpn=(1/2)*PQ*MN=(1/2)*1,5√23*3=2,25√23. Из формулы для медианы SN треугольника РSC найдем сторону SP. SN=(1/2)*√(2CS²+2SP²-CP²). Или 6=(1/2)*√(288+2SP²-216), так как СP=NP+HC=6√6. Тогда 12=√(72+2SP²). Или 144=72-2SP². Отсюда SP=√36=6. Мы видим, что SP=SM=Sn=6. Следовательно, в пирамиде SMPN боковые ребра равны, а это значит, что вершина S проецируется в центр описанной окружности треугольника MPN, радиус которой равен по формуле: R=abc/4S. В нашем случае R=3*54/9√23=18/√23. Тогда из прямоугольного треугольника PSH имеем по Пифагору: SH=√(SP²-PH²)=√(SP²-R²)=√(36-324/23)=√(36-324/23)= =√(504/23)=6√14/√23. ответ: расстояние от вершины S до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.
Второй вариант - координатный метод. Так как пирамида правильная, в основании - квадрат. Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2. Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14. Даны точки: В(0;0;0), С(6;0;0), М(1,5;1,5√14;4,5). S(3;3√14;3). Составим уравнение плоскости через три точки: Для составления уравнения плоскости используем формулу: |x - xВ xС-xВ xМ-xВ| |y - yВ yС-yВ yМ-yВ| = 0. |z - zВ zС-zВ zМ-zВ| Подставим данные трех наших точек: |x-0 6-0 1,50 | |x-0 6 1,5 | |y-0 0-0 1,5√14-0 | = 0. Или |y-0 0 1,5√14 | = 0. |z-0 0-0 4,5 0 | |z-0 0 4,5 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: |0 1,5√14 | |6 1,5| |6 1,5 | (х-0)*|0 4,5 | - (y-0)*|0 4,5| +(z-0)*|0 1,5√14| =0. (х-0)(0-0)-(y-0)(27-0)+(z-0)(9√14-0)=0. Или 0х-27y+9√14z=0. Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки S(Sx, Sy, Sz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу: d=|A*Sx+B*Sy+C*Sz+D|/√(A²+B²+C²) или d=|0-27*3√14+9√14*3+0|/√(0+729+1134)= 54√14/√1863=9*6√14/9√23=6√14/√23. ответ: расстояние от вершины пирамиды до плоскости ВСМ равно 6√14/√23.
Надо найти синусы углов ВСО и ВАО.
Прямоугольные треугольники ВАО и ВСО равны по гипотенузе и катету. Углы ВСО и ВАО равны.
Из прямоугольного треугольника ВМО :
sinВСО = sin ВАО =
ответ