Question

Прямая, содержащая биссектрису угла b треугольника abc, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке d. сторона ac=5 и делит отрезок bd в отношении 3: 1, считая от точки b. найдите периметр треугольника abc

Answer 1

Пусть Е - точка пересечения AC и BD. Пусть EB = x; AE = y; далее, стандартно, AB = c; BC = a; AC = b = 5; Известно, что BE = 3*x; надо найти a + b + c (то есть, на самом деле, a + c, b = 5)
По свойству биссектрисы (b - y)/y = a/c;
и по свойству пересекающихся хорд y*(b - y) = 3*x^2;
отсюда получается (a/c)*y^2 = 3*x^2;
кроме того, треугольники ABE и BDC подобны (по двум углам, углы BAE и BDC опираются на одну дугу BC, а углы ABE и DBC равны, потому что BE биссектриса), поэтому с/(3*x) = 4*x/a; или a*c = 12*x^2; 
если разделить два последних равенства друг на друга, получится
y^2/c^2 = 1/4; или y = c/2; b - y = a/2; 
Следовательно a/2 + c/2 = b; и a + b+ c = 3*b = 15;