Центр окружности лежит на биссектрисе угла. Радиусы окружности, проходящие через точки касания сторон угла с окружностью, будет перпендикулярны к сторонам угла. Таким образом, биссектриса, касательные (стороны угла от вершины до точек касания с окружностью) и радиусы образуют два одинаковых прямоугольных треугольника. И при любом положении угла относительно окружности (при вращении угла вокруг окружности) все размеры этих треугольников будут оставаться неизменными. Следовательно вершина угла опишет окружность , центр которой совпадет с центром заданной окружности, и радиусом равным расстоянию от вершины угла до центра окружности.
Обозначим искомый угол за х, угол между диагоналями напротив большей стороны за у. По условию х=у-70. Рассмотрим треугольник, образованный диагоналями и меньшей стороной прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Таким образом этот треугольник равнобедренный с основанием, совпадающим с меньшей стороной прямоугольника. Если обозначить угол меньшего треугольника напротив основания за а, то а=180-х-х=180-2х по теореме о сумме углов в треугольнике. С другой стороны, этот угол смежный с углом, обозначенным как у, то есть а=180-у. Таким образом, 180-у=180-2х, или 2х=у. Сопоставляя выражения 2х=у и х=у-70, получаем систему уравнений, откуда находим искомый угол х = 70.
Объяснение:
а) что бы найти радиус надо знать периметр и площадь
найдем Р
Р= (а+в+с)/2=(13+14+15)/2=42/2=21
S= корень квадратный из Р(Р-а)(Р-в)(Р-с)=корень квадратный из 21(21-13)(21-14)(21-15)=корень квадратный из 21* 336= корень квадратный из 7056= 84
Сейчас можем найти радиус вписанной
R=S/P= 84/21=4
Радиус описанной
R=(a*b*c)/4S=(13*14*15)/4*84=2730/336=8,125