A) очень легко - OH II CD, потому что составляют равные углы с AD, так как трапеция равнобедренная по условию, а треугольник AOH равнобедренный, OA = OH = R; - радиус построенной окружности. Понятно, что и OQ II AD, как средняя линия. Теперь еще обозначения. K - точка касания окружности с CD, OK = R, разумеется. Далее, ∠BAD = α = 75°; ясно, что ∠OHA = ∠CDA = ∠CQO = α; Основания я обозначу, как AD = a; BC = b = 1; Кроме того, пусть прямая BN II CD, и точка N лежит на AD. б) Ясно, что DN = b; кроме того, HN = AH, так как OH II BN и AO = OB; AH = 2Rcos(α); AD = AH + HN + ND a = b + 4Rcos(α); Из треугольника OKQ OQ*sin(α) = R; но OQ - средняя линия трапеции (a + b)*sin(α)/2 = R; Окончательно a = b + (a + b)*sin(2α); a = b*(1 + sin(2α))/(1 - sin(2α)); Это - решение в общем виде. Теперь, если подставить b = 1; sin(2α) = sin(150°) = 1/2; получится AD = 3
Пусть быков a, коров b, а телят 10c. Тогда можно составить два уравнения: a + b + 10c = 100 и 20a + 10b + 10c = 200. Второе из этих уравнений можно переписать в виде 2a + b + c = 20. Итак, у нас есть система двух уравнений: a + b + 10c = 100 и 2a + b + c = 20. Из первого уравнения замечаем, что a + b кратно 10. так как a+b=100-10c=10(10-c) Из второго — a + b < 20. Значит, a + b = 10. Тогда, из первого уравнения, c = 9, а из второго 2a + b = 11. Отсюда находим: a = 1, b = 9, c = 9. Это значит, что в стаде 1 бык, 9 коров и 90 телят.
Находим радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник по формуле:
r = a / 2√3
4 = a / 2√3
отсюда находим сторону "а" :
а = 4 * 2√3 = 8√3 . или еще а = 2r√3 = 2 * 4√3 = 8√3 .
ответ: сторона треугольника равна 8√3 .