Question

Если периметр равнобедренного треугольника с основанием 9,6 см равен 25,6 см, то расстояние от вершины основания до точки пересечения высот треугольника равно?

Answer 1

Пусть АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС = 9,6 см.
1). АВ = ВС = (25,6 - 9,6) / 2 = 8 (см) 
2). Рассмотрим треугольник АВН, где ВН - высота треугольника, проведенная к основанию, значит, и медиана. АН = АС / 2 = 9,6 / 2 = 4,8 (см).
По теореме Пифагора $BH = \sqrt{AB^{2}-AH^{2}} = \sqrt{8^{2}-4,8^{2}}= 6,4$ (см)
3). ВН, СК и АF - высоты треугольника, пересекаются в т. О. Найдем расстояние АО. Для этого найдем сначала АF.
4). $S_{ABC} = \frac{1}{2}*BH*AC = \frac{1}{2}*AF*BC$
$BH*AC = AF*BC$
$AF = \frac{BH*AC}{BC} = \frac{6,4*9,6}{8} = 7,68$ (см)
5). Треугольники АОН и ACF подобны по двум углам (углы в 90 градусов и общий острый угол при вершине А).
$\frac{AO}{AC} = \frac{AH}{AF}$
$AO = \frac{AH*AC}{AF} = \frac{4,8*9,6}{7,68} = 6$ (см)
ответ: 6 см.