Опусти перпендикуляр из вершины С на АД: СМ ⊥ АД .
Тогда ВСМН - прямоугольник , противоположные стороны которого равны, ВС=МН и ВН=СМ , но так как по условию ВС=ВН, то ВСМН - квадрат, сторону которого обозначим "а" .
ΔАВН - прямоугольный, с углом ∠А=45° . Тогда и ∠АВН=90°-45°=45° .
Поскольку ∆ прямоугольный, то второй, прилежащий к заданному катету угол, 90°. Пусть, например, задан катет 6см и прилежащий угол 40°. Проводим горизонтальную линию длиной 6 см, обозначаем А и В. Это катет. Прикладываем транспортир, совмещая (одновременно) его основание с линией катета, а его риску (крестик) нулевой точки - с точкой А. По шкале откладываем угол 40° от катета АВ, ставим точку (временную). Через неё и т.А проводим временную линию -вторую сторону заданного угла. В точке В катета по линейке строим перпендикуляр под углом 90° до пересечения с временной линией (если лист без клеток, то опять приладыааем транспортир). Обозначаем, например, т.С. Обводим посильнее гипотенузу АС и второй катет ВС. Можно проверить транспортиром угол АСВ, он должен получиться 180-90-40=50°, зависит от аккуратности построения.
1. а) Так как две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, то и ребро, по которому они пересекаются, МС, так же перпендикулярно плоскости основания. Пусть Н - середина гипотенузы АВ. Тогда СН - медиана и высота равнобедренного треугольника, СН⊥АВ. СН - проекция МН на плоскость основания, тогда и МН⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах. ∠МНС = 45° - линейный угол двугранного угла между боковой гранью МАВ и плоскостью основания. СН = АВ/2 = 2√2 см, так как медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. ΔМСН прямоугольный равнобедренный (∠МНС = 45°), значит МС = СН = 2√2 см
АВ = АС√2 как гипотенуза равнобедренного треугольника, АС = ВС = АВ/√2 = 4 см ΔМСА: ∠МСА = 90°, по теореме Пифагора МА = √(МС² + АС²) = √(8 + 16) = √24 = 2√6 см ΔМСА = ΔМСВ по двум катетам (АС = ВС по условию, МС - общий), ⇒ МВ = МА = 2√6 см
2. Пусть М - середина AD. Соединим точки М и С, так как они лежат в одной грани. МС - отрезок сечения. Проведем МК - среднюю линию ΔАА₁D. Тогда МК║А₁D. МК - отрезок сечения. Параллельные грани пересекаются по параллельным прямым, поэтому в грани ВВ₁С₁С проведем диагональ В₁С, которая параллельна А₁D, а значит и МК. В₁СМК - искомое сечение (А₁D║МК, значит параллельна и плоскости сечения, и сечение проходит через заданные точки).
Так как МК║В₁С, а КВ₁∦МС, то сечение - трапеция. Так как ΔКА₁В₁ = ΔMDC по двум катетам, то КВ₁ = МС, ⇒ трапеция равнобедренная. В₁С = а√2 как диагональ квадрата, МК = а√2/2 как средняя линия ΔАА₁D. Из ΔMDC по теореме Пифагора МС = √(MD² + DC²) = √(a²/4 + a²) = a√5/2 Трапеция равнобедренная, поэтому СН = РВ₁ = (СВ₁ - МК)/2 = (а√2 - а√2/2)/2 = а√2/4 Из треугольника СМН по теореме Пифагора СН = √(СМ² - СН²) = √(5a²/4 - 2a²/16) = √(18a²/16) = 3a√2/4 Sсеч = (CB₁ + MK)/2 · CH = (a√2 + a√2/2)/2 · 3a√2/4 = 3a√2/4 · 3a√2/4 Sсеч = 9a² · 2 / 16 = 9a²/8
ответ: h=5 см .
АВСД - трапеция, АВ=СД , ∠А=∠Д=45° ,
ВС=а , ВН ⊥ АД , h=ВН=ВС=а , S(трап)=50см² .
Опусти перпендикуляр из вершины С на АД: СМ ⊥ АД .
Тогда ВСМН - прямоугольник , противоположные стороны которого равны, ВС=МН и ВН=СМ , но так как по условию ВС=ВН, то ВСМН - квадрат, сторону которого обозначим "а" .
ΔАВН - прямоугольный, с углом ∠А=45° . Тогда и ∠АВН=90°-45°=45° .
То есть ΔАВН - равнобедренный и АН=ВН=а .
Аналогично, из ΔСДМ получаем, что ДМ=СМ=а .
Тогда АД=АН+НМ+МД=а+а+а=3а .
Площадь трапеции :
По условию: