1. Центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника, продлим AO и ОС до точек Н и С, тогда АН и СЕ - биссектрисы треугольника ABC;
2. По свойствам биссектрисы следует, что она делит углы треугольника пополам, то есть AH делит угол BAC на равные углы BAH = HAC = 20°, а биссектриса CE делит угол BCA на равные углы BCE = ECA = 25°;
3. Рассмотрим треугольник AOC: сумма углов треугольника 180°, тогда угол О = 180° - (HAC + ECA) = 180-45=135°;
Проведём радиусы ОА и ОД окружности описанной около треугольника АDF(смотри рисунок). Угол АОД окружности (на рисунке не показана)-центральный, а АFД –вписаный. Но они оба опираются на одну дугу АД. То есть угол АОД в два раза больше угла АFД(условно обозначен 1).Треугольник АОД- равнобедренный(АО и ОД радиусы), высота ОЕ делит угол АОД пополам. Отсюда угол ОАЕ=90-угол1. Далее- угол СВД равен углу АFВ как накрест лежащие поскольку АF параллельна ВС. Но угол СВД равен углу САД поскольку они оба опираются на дугу СД. Тогда угол ОАС =угол САД+ угол ОАД=угол1+угол90-угол1=90градусов. То есть радиус ОА окружности описанной около АДF перпендикулярен АС. А это значит , что окружность касается этой прямой
2. По свойствам биссектрисы следует, что она делит углы треугольника пополам, то есть AH делит угол BAC на равные углы BAH = HAC = 20°, а биссектриса CE делит угол BCA на равные углы BCE = ECA = 25°;
3. Рассмотрим треугольник AOC: сумма углов треугольника 180°, тогда угол О = 180° - (HAC + ECA) = 180-45=135°;
4. Найдём больший угол АОС, который равняется 360°-меньший угол АОС = 360-135 = 235°;
5. Рассмотрим четырёхугольник АОС. Сумма углов четырехугольника равна 360°, угол BAH = 20°, угол ECB = 25°, тогда угол ABC = 360°-(ECB+BAH+AOC) = 360°-(45°+235°)= 80°;
ответ: угол ABC = 80°.