Дано :
Четырёхугольник ABCD - параллелограмм.
∠В = 90°.
Доказать :
Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.
Доказательство :
Прямоугольник - это четырёхугольник, все углы которого прямые (равны по 90°).
То есть нам нужно доказать, что у этого четырёхугольника все углы прямые.
- - -
Сумма соседних углов параллелограмма равна 180°.То есть -
∠А + ∠В = 180°
∠А = 180° - ∠В
∠А = 180° - 90°
∠А = 90°
∠А = ∠В = 90°.
Противоположные углы параллелограмма равны.То есть -
∠В = ∠D = 90°
∠А = ∠С = 90°.
Но также -
∠В = ∠А = ∠D = ∠С = 90°.
Поэтому, параллелограмм ABCD - прямоугольник.
- - -
Что требовалось доказать!
Теперь надо построить хорду C1D1, симметричную CD относительно OY; ясно, что она параллельна CD и перпендикулярна AB, ясно, что C1D1 = CD; и вообще - CDD1C1 это прямоугольник. Что означает, что CD1 - диаметр.
Поскольку при зеркальном отражении относительно OY точка A переходит в B, а точка D - в точку D1, то BD = AD1; (по определению равенства фигур, между прочим).
Остается заметить, что, раз CD1 - диаметр, то треугольник ACD1 - прямоугольный, и записать для него теорему Пифагора.