Question

1. Найдите все векторы n , которые образуют с вектором s(-4;3) прямой угол и длина вектора n = длине вектора s.
2. Найдите все векторы единичной длины , которые образуют с вектором s (2;-1) угол равный 45 градусов.

Answer 1

Для решения данной задачи, необходимо применить знания о векторах и их свойствах.

1. Найдем все векторы n, которые образуют с вектором s(-4;3) прямой угол и имеют равную длину.
Дано: Вектор s(-4;3)

У нас есть два условия: прямой угол и равная длина вектора.

Сначала найдем длину вектора s:
Длина вектора s = √((-4)^2 + 3^2) = √(16 + 9) = √25 = 5

Теперь рассмотрим вектор n(x; y), который образует с вектором s прямой угол.

Для того, чтобы векторы образовывали прямой угол, их скалярное произведение должно быть равно 0:
s * n = 0

(-4* x) + (3 * y) = 0
-4x + 3y = 0 (Уравнение 1)

Также, длина вектора n должна быть равна длине вектора s:
√(x^2 + y^2) = 5 (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из уравнения 1 и уравнения 2. Решим данную систему.

Уравнение 1 можно записать в виде:
-4x = -3y
x = (-3y)/4 (Уравнение 3)

Подставим уравнение 3 в уравнение 2:
√(((-3y)/4)^2 + y^2) = 5
√((9y^2)/16 + y^2) = 5
√((9y^2 + 16y^2)/16) = 5
√((25y^2)/16) = 5
(25y^2)/16 = 25
25y^2 = 400
y^2 = 400/25
y^2 = 16
y = 4 или y = -4

Теперь найдем соответствующие значения x, подставив y в уравнение 3:
x = (-3*4)/4 = -3
x = (-3*-4)/4 = 3

Таким образом, найденные векторы n, которые образуют с вектором s прямой угол и имеют равную длину, будут:
n1(-3; 4) и n2(3; -4).

2. Найдем все векторы единичной длины, которые образуют с вектором s(2;-1) угол равный 45°.

Для решения этой задачи, вспомним свойство скалярного произведения векторов:
a * b = |a| * |b| * cos(θ)

Где a и b - векторы, |a| и |b| - их длины, а θ - угол между ними.

У нас есть вектор s(2;-1) и нам нужно найти векторы, у которых длина равна 1 и которые образуют с вектором s угол равный 45°.

По определению единичного вектора, его длина равна 1.

Теперь рассмотрим вектор n(x; y), образующий угол 45° с вектором s(2;-1).
Мы знаем, что cos(45°) = √2 / 2.

Мы также знаем, что длина вектора n равна 1.

Поэтому, напишем следующее уравнение:
s * n = |s| * |n| * cos(45°)
(2 * x) + (-1 * y) = √(2^2 + (-1)^2) * 1 * (√2 / 2)
2x - y = √5 * (√2 / 2)
2x - y = √10 / 2

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить и найти значения x и y:
2x - y = √10 / 2

Один из возможных способов решения этого уравнения:
y = 2x - (√10 / 2)

Теперь вектор n можно записать в виде:
n(x; 2x - (√10 / 2))

Таким образом, все векторы единичной длины, которые образуют с вектором s(2;-1) угол равный 45°, будут:
n(x; 2x - (√10 / 2)), где x - любое число.

Например, возьмем x = 1:
n(1; 2 - (√10 / 2))