Контрольна з геометрії 1. На якій відстані від початку координат розміщена точка B(2; -4; -4)
а) 36 б) 4 в) 18 г) 6
2. Знайдіть координати вектора a=c+3d якщо c(3; -2; 1), d(1; -2; 1)
а) (2;0;0) б) (6;-4;4) в) (4;-4;2) г) (6;-8;4)
3. При якому значенні n вектори a(n;-2;1) і c(12;-8;4) колінеарні?
а) 4 б) -3 в) -4 г) 3
4. Знайдіть довжину вектора a (-3;1;√15)
а) 25 б)5 в) 9 г)√24
5. При який значеннях a вектори c(3;-2;a) і d(1;a;8) перпендикулярні?
Задание №1
Объяснение:
Пирамида SABCD. Апофема SH - высота треугольника SAB. O - точка пересечения диагоналей основания, SO - высота пирамиды.
1) Рассмотрим прямоугольный треугольник OHS. По теореме пифагора:
OH² = SH² - SO²
OH² = 4a² - 3a²
OH = a
По теореме Фалеса: BC = 2OH = 2a
Сторона основания 2a
2) SHO - линейный угол двугранного угла SABO. Найдя его, найдем и SABO, следовательно угол между боковой гранью и основанием.
Из прямоугольного треугольника SHO:
sin<SHO = SO/SH
sin<SHO = a√3/2a = √3/2
<SHO = 60°
Угол между боковой гранью и основанием 60°
3) S = Sбок + Sосн
В основании квадрат, значит Sосн = AB² = (2a)² = 4a²
Sбок = Pосн*SH/2
Pосн = 4*2a = 8a
Sбок = 8a*2a/2 = 8a²
S = 8a² + 4a² = 12a²
Площадь 12а²
4) Из точки О (это и есть центр основания) проводим перпендикуляр к апофеме SH, обозначаем H1. SH1 - расстояние от центра основания до плоскости боковой грани.
Из прямоугольного треугольника OH1H:
sin<SHO = OH1/OH
но sin<SHO = √3/2
√3/2 = OH1/a
OH1 = a√3/2
ответы: a; 60°; 12а²; a√3/2