Question

Докажите, что прямые `AB` и `CD` перпендикулярны тогда и только тогда, когда `AC^2-BC^2=AD^2-BD^2`.

Answer 1

Для доказательства данного утверждения, нужно разделить его на две части: доказательство "тогда" и доказательство "только тогда".

1. Доказательство "тогда":

Предположим, что прямые AB и CD перпендикулярны. Обозначим точку пересечения прямых как O.

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BOC:
BC^2 = BO^2 + OC^2

Так как прямые AB и CD перпендикулярны, то AO = BO и AC = BD.
Следовательно, мы можем заменить AO на BO и AC на BD в первом уравнении.

Таким образом, получаем:
AC^2 - BC^2 = (AO^2 + OC^2) - (BO^2 + OC^2)
AC^2 - BC^2 = AO^2 - BO^2

Таким образом, мы доказали, что если прямые AB и CD перпендикулярны, то AC^2 - BC^2 = AO^2 - BO^2.

2. Доказательство "только тогда":

Предположим, что AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2.
Обозначим точку пересечения прямых AB и CD как O.

Из условия у нас есть:
AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2

Теперь рассмотрим треугольники AOC и BOC.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AOC:
AC^2 = AO^2 + OC^2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BOC:
BC^2 = BO^2 + OC^2

Так как AC^2 - BC^2 = AO^2 - BO^2, то мы можем сопоставить компоненты справа и слева уравнения:

AO^2 + OC^2 = BO^2 + OC^2
AO^2 = BO^2

Таким образом, AO = BO.

Теперь рассмотрим треугольники ADO и BDO.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ADO:
AD^2 = AO^2 + OD^2

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BDO:
BD^2 = BO^2 + OD^2

Так как AO = BO, мы можем заменить AO на BO в первом уравнении:

AD^2 = BO^2 + OD^2

Таким образом, мы доказали, что если AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2, то прямые AB и CD перпендикулярны.

В итоге, мы доказали оба утверждения и можем заключить, что прямые AB и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2.