Question

На плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон трапеции.найти радиус окружности , описанной около трапеции, если её средняя линия равна 4, а тупой угол трапеции равен 120 градусов

Answer 1

на плоскости существует точка равноудаленная от всех сторон, значит она еще описанная а так как если в четырехугольник можно вписать окружность  то сумма противоположенных стороны равна сумме боковых , так как по условию следует что трапеция равнобедренная так как она вписана в окружность! 
пусть а боковые стороны а x и у основания  , тогда  средняя линия равна $x+y=8$,  значит  
$2a=x+y\\ 2a=8\\ a=4\\$
боковые стороны равны 4, теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BEC.
Так  по условию дано что оно равна 120 гр, то значит угол EBC равна 120-90=30гр
Так как  EC$\frac{x-y}{2}$
$x+y=8$
Значит  $BC=$$\frac{EC}{sin30}$
решая систему получим что нижнее основание равно 6 ,верхнее 2 
Теперь  чтобы найти Радиус Описанной окружности можно  рассмотреть    треугольник DBC; По формуле 
$R=\frac{d*x*a}{p(p-d)(p-x)(p-a)}$
Найдем d, по теореме косинусов 
$d=\sqrt{4^2+6^2-2*4*6*cos60}=\sqrt{28}$
$p=\frac{4+6+2\sqrt{7}}{2}=5+\sqrt{7}$
$R=\frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{(5+\sqrt{7})(5+\sqrt{7}-4)(5+\sqrt{7}-6)(5+\sqrt{7}-2\sqrt{7})}}=\\ \frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{(5+\sqrt{7})(1+\sqrt{7})(\sqrt{7}-1)(5-\sqrt{7})}} = \frac{48\sqrt{7}}{\sqrt{18*6}}=\frac{8\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$