1. Sкр = πR²
S = π · 3,1² = 9,61π см²
2. С = 2πR
C = 2π · 0,4 = 0,8π м
3. R = 2,5 см
Длина окружности:
С = 2πR
C = 2π · 2,5 = 5π см
Сторона треугольника:
a = R√3 = 2,5 · √3 = 5√3/2 см
Периметр треугольника:
Р = 3а = 3 · 5√3/2 = 15√3/2 см
Площадь треугольника:
S = a²√3/4 = (5√3/2)² · √3 / 4 = 75√3/16 см²
4. Sсект = πR² · α/360°
Sсект = π · 5² · 60°/360° = 25π/6 см²
5. Сторона правильного шестиугольника:
а₆ = Р / 6 = 12 / 6 = 2 см
Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности:
R = a₆ = 2 см
Эта же окружность вписана в квадрат. Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине стороны квадрата:
R = a₄ / 2
a₄ = 2R = 4 см
SH -высота пирамиды, Так как все грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол SKH=60
НК одновременно будет радиусом вписанной окружности треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей SK.
Пусть центр шара - точка О
Сделаем выносной чертеж плоскости SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности, проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30
Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3)
HK/SK=cos60 => SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит SM=R*sqrt(3)
А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2
Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...