Question

Даны: точки А (2;4), B (1;3), (1,75; 1,25), D (3;0) 1. Найдите вектор равный AB - CD
2. Найдите угол между векторами AB и CD
3. Пусть векторы AM = 3 × AB, DN = 4 × DC. Найдите координаты точек M и N
​

Answer 1

1. Для нахождения вектора AB - CD нужно вычесть соответствующие координаты точек A и C из соответствующих координат точек B и D.

AB - CD = (2-3; 4-0) = (-1; 4)

2. Чтобы найти угол между векторами AB и CD, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

cosθ = (AB * CD) / (|AB| * |CD|)

где θ - искомый угол, |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD, а (AB * CD) - скалярное произведение векторов AB и CD.

Для нахождения скалярного произведения AB * CD нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить результаты:

AB * CD = (2*3)+(4*0) = 6+0 = 6

Длина вектора AB вычисляется по формуле:

|AB| = sqrt((2-1)^2+(4-3)^2) = sqrt(1^2+1^2) = sqrt(2)

Длина вектора CD вычисляется по формуле:

|CD| = sqrt((1,75-3)^2+(1,25-0)^2) = sqrt(2,25+1,5625) = sqrt(3,8125)

Теперь мы можем найти угол θ:

cosθ = (6) / (sqrt(2) * sqrt(3,8125)) = 6 / (sqrt(2) * sqrt(3,8125))

Вычисляем значение с помощью калькулятора и получаем, например, cosθ ≈ 0,6667.

Угол θ можно найти с помощью обратной тригонометрической функции, а именно, арккосинуса:

θ = arccos(0,6667)

Вычисляем значение с помощью калькулятора и получаем, например, θ ≈ 48,19°.

3. Для нахождения координат точек M и N, воспользуемся формулой умножения вектора на число.

Для вектора AM:

Мы знаем, что AM = 3 × AB. Поэтому, чтобы найти координаты точки M, нужно умножить каждую координату вектора AB на 3.

Таким образом, координаты точки M будут равны: (2*3; 4*3) = (6; 12).

Для вектора DN:

Мы знаем, что DN = 4 × DC. Поэтому, чтобы найти координаты точки N, нужно умножить каждую координату вектора DC на 4.

Таким образом, координаты точки N будут равны: (3*4; 0*4) = (12; 0).

Итак, координаты точки M равны (6; 12), а координаты точки N равны (12; 0).